Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21512 / 5127
↖ ↑ ↗
← N 76.823297°
E 56.337891°		 ← 278.46 m → N 76.823297°
E 56.348877°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 76.820792°
E 56.337891°		 ← 278.52 m →
77 571 m²		 N 76.820792°
E 56.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656509399414062 y=0.156478881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656509399414062 × 215)
    floor (0.656509399414062 × 32768)
    floor (21512.5)     		tx = 21512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156478881835938 × 215)
    floor (0.156478881835938 × 32768)
    floor (5127.5)     		ty = 5127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21512 / 5127 ti = "15/21512/5127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21512/5127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21512 ÷ 215
    21512 ÷ 32768     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5127 ÷ 215
    5127 ÷ 32768     		y = 0.156463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156463623046875 × 2 - 1) × π
    0.68707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15850271609189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15850271609189))-π/2
    2×atan(8.6581642184676)-π/2
    2×1.45580790212107-π/2
    2.91161580424215-1.57079632675     		φ = 1.34081948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34081948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.823297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21512 KachelY 5127 0.98328169 1.34081948 56.337891 76.823297
    Oben rechts KachelX + 1 21513 KachelY 5127 0.98347343 1.34081948 56.348877 76.823297
    Unten links KachelX 21512 KachelY + 1 5128 0.98328169 1.34077576 56.337891 76.820792
    Unten rechts KachelX + 1 21513 KachelY + 1 5128 0.98347343 1.34077576 56.348877 76.820792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34081948-1.34077576) × R
    4.37199999998583e-05 × 6371000     		dl = 278.540119999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34081948-1.34077576) × R
    4.37199999998583e-05 × 6371000     		dr = 278.540119999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98347343) × cos(1.34081948) × R
    0.000191739999999996 × 0.227954979976339 × 6371000     		do = 278.464227760279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98347343) × cos(1.34077576) × R
    0.000191739999999996 × 0.227997548684014 × 6371000     		du = 278.516228652345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34081948)-sin(1.34077576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227954979976339-0.227997548684014)×R²
    abs(0.98347343-0.98328169)×4.25687076756887e-05×R²
    0.000191739999999996×4.25687076756887e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.25687076756887e-05×40589641000000     		ar = 77570.7015955611m²