Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2152 / 2024
↖ ↑ ↗
← N  2.108899°
E  9.140625°		 ← 9 766.37 m → N  2.108899°
E  9.228515°		 →
↑
9 766.68 m
↓
↑
9 766.68 m
↓
N  2.021065°
E  9.140625°		 ← 9 766.91 m →
95 387 632 m²		 N  2.021065°
E  9.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5255126953125 y=0.4942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5255126953125 × 212)
    floor (0.5255126953125 × 4096)
    floor (2152.5)     		tx = 2152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4942626953125 × 212)
    floor (0.4942626953125 × 4096)
    floor (2024.5)     		ty = 2024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2152 / 2024 ti = "12/2152/2024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2152/2024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2152 ÷ 212
    2152 ÷ 4096     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2024 ÷ 212
    2024 ÷ 4096     		y = 0.494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494140625 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(1.03750162450371)-π/2
    2×0.803801775994266-π/2
    1.60760355198853-1.57079632675     		φ = 0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2152 KachelY 2024 0.15953400 0.03680723 9.140625 2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 2153 KachelY 2024 0.16106798 0.03680723 9.228515 2.108899
    Unten links KachelX 2152 KachelY + 1 2025 0.15953400 0.03527424 9.140625 2.021065
    Unten rechts KachelX + 1 2153 KachelY + 1 2025 0.16106798 0.03527424 9.228515 2.021065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03680723-0.03527424) × R
    0.00153299 × 6371000     		dl = 9766.67929000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03680723-0.03527424) × R
    0.00153299 × 6371000     		dr = 9766.67929000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.16106798) × cos(0.03680723) × R
    0.00153397999999999 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 9766.36724219007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.16106798) × cos(0.03527424) × R
    0.00153397999999999 × 0.999377928502404 × 6371000     		du = 9766.90708360213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03680723)-sin(0.03527424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999377928502404)×R²
    abs(0.16106798-0.15953400)×5.52381206743169e-05×R²
    0.00153397999999999×5.52381206743169e-05×6371000²
    0.00153397999999999×5.52381206743169e-05×40589641000000     		ar = 95387631.5923442m²