Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21535 / 5153
↖ ↑ ↗
← N 76.758025°
E 56.590576°		 ← 279.83 m → N 76.758025°
E 56.601563°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
N 76.755508°
E 56.590576°		 ← 279.89 m →
78 327 m²		 N 76.755508°
E 56.601563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657211303710938 y=0.157272338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657211303710938 × 215)
    floor (0.657211303710938 × 32768)
    floor (21535.5)     		tx = 21535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157272338867188 × 215)
    floor (0.157272338867188 × 32768)
    floor (5153.5)     		ty = 5153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21535 / 5153 ti = "15/21535/5153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21535/5153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21535 ÷ 215
    21535 ÷ 32768     		x = 0.657196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5153 ÷ 215
    5153 ÷ 32768     		y = 0.157257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.657196044921875 × 2 - 1) × π
    0.31439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98769188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157257080078125 × 2 - 1) × π
    0.68548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1535172785314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98769188} λ = 0.98769188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1535172785314))-π/2
    2×atan(8.61510690033449)-π/2
    2×1.45523829320456-π/2
    2.91047658640913-1.57079632675     		φ = 1.33968026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98769188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33968026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.758025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21535 KachelY 5153 0.98769188 1.33968026 56.590576 76.758025
    Oben rechts KachelX + 1 21536 KachelY 5153 0.98788363 1.33968026 56.601563 76.758025
    Unten links KachelX 21535 KachelY + 1 5154 0.98769188 1.33963633 56.590576 76.755508
    Unten rechts KachelX + 1 21536 KachelY + 1 5154 0.98788363 1.33963633 56.601563 76.755508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33968026-1.33963633) × R
    4.39299999999143e-05 × 6371000     		dl = 279.878029999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33968026-1.33963633) × R
    4.39299999999143e-05 × 6371000     		dr = 279.878029999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98769188-0.98788363) × cos(1.33968026) × R
    0.000191750000000046 × 0.229064058057398 × 6371000     		do = 279.833644087264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98769188-0.98788363) × cos(1.33963633) × R
    0.000191750000000046 × 0.229106819796984 × 6371000     		du = 279.885883506739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33968026)-sin(1.33963633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229064058057398-0.229106819796984)×R²
    abs(0.98788363-0.98769188)×4.27617395851176e-05×R²
    0.000191750000000046×4.27617395851176e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.27617395851176e-05×40589641000000     		ar = 78326.5993802529m²