Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21536 / 5216
↖ ↑ ↗
← N 76.598545°
E 56.601563°		 ← 283.13 m → N 76.598545°
E 56.612549°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
N 76.595999°
E 56.601563°		 ← 283.18 m →
80 169 m²		 N 76.595999°
E 56.612549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657241821289062 y=0.159194946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657241821289062 × 215)
    floor (0.657241821289062 × 32768)
    floor (21536.5)     		tx = 21536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159194946289062 × 215)
    floor (0.159194946289062 × 32768)
    floor (5216.5)     		ty = 5216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21536 / 5216 ti = "15/21536/5216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21536/5216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21536 ÷ 215
    21536 ÷ 32768     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5216 ÷ 215
    5216 ÷ 32768     		y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675     		φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21536 KachelY 5216 0.98788363 1.33689681 56.601563 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 21537 KachelY 5216 0.98807537 1.33689681 56.612549 76.598545
    Unten links KachelX 21536 KachelY + 1 5217 0.98788363 1.33685237 56.601563 76.595999
    Unten rechts KachelX + 1 21537 KachelY + 1 5217 0.98807537 1.33685237 56.612549 76.595999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33689681-1.33685237) × R
    4.44400000001455e-05 × 6371000     		dl = 283.127240000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33689681-1.33685237) × R
    4.44400000001455e-05 × 6371000     		dr = 283.127240000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98807537) × cos(1.33689681) × R
    0.000191739999999996 × 0.231772609035297 × 6371000     		do = 283.127750039496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98807537) × cos(1.33685237) × R
    0.000191739999999996 × 0.231815838704871 × 6371000     		du = 283.180558346449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33685237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231772609035297-0.231815838704871)×R²
    abs(0.98807537-0.98788363)×4.32296695732914e-05×R²
    0.000191739999999996×4.32296695732914e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.32296695732914e-05×40589641000000     		ar = 80168.6541846377m²