Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21540 / 5156
↖ ↑ ↗
← N 76.750473°
E 56.645508°		 ← 279.99 m → N 76.750473°
E 56.656494°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 76.747954°
E 56.645508°		 ← 280.04 m →
78 424 m²		 N 76.747954°
E 56.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657363891601562 y=0.157363891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657363891601562 × 215)
    floor (0.657363891601562 × 32768)
    floor (21540.5)     		tx = 21540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157363891601562 × 215)
    floor (0.157363891601562 × 32768)
    floor (5156.5)     		ty = 5156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21540 / 5156 ti = "15/21540/5156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21540/5156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21540 ÷ 215
    21540 ÷ 32768     		x = 0.6573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5156 ÷ 215
    5156 ÷ 32768     		y = 0.1573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6573486328125 × 2 - 1) × π
    0.314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98865062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1573486328125 × 2 - 1) × π
    0.685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15294203573596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98865062} λ = 0.98865062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15294203573596))-π/2
    2×atan(8.6101525472727)-π/2
    2×1.45517239103093-π/2
    2.91034478206186-1.57079632675     		φ = 1.33954846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98865062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33954846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.750473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21540 KachelY 5156 0.98865062 1.33954846 56.645508 76.750473
    Oben rechts KachelX + 1 21541 KachelY 5156 0.98884237 1.33954846 56.656494 76.750473
    Unten links KachelX 21540 KachelY + 1 5157 0.98865062 1.33950450 56.645508 76.747954
    Unten rechts KachelX + 1 21541 KachelY + 1 5157 0.98884237 1.33950450 56.656494 76.747954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33954846-1.33950450) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dl = 280.069159999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33954846-1.33950450) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dr = 280.069159999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98865062-0.98884237) × cos(1.33954846) × R
    0.000191749999999935 × 0.229192351683461 × 6371000     		do = 279.990372616225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98865062-0.98884237) × cos(1.33950450) × R
    0.000191749999999935 × 0.229235141297408 × 6371000     		du = 280.042646088115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33954846)-sin(1.33950450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229192351683461-0.229235141297408)×R²
    abs(0.98884237-0.98865062)×4.27896139473805e-05×R²
    0.000191749999999935×4.27896139473805e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.27896139473805e-05×40589641000000     		ar = 78423.9885730111m²