Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21552 / 5168
↖ ↑ ↗
← N 76.720223°
E 56.777344°		 ← 280.62 m → N 76.720223°
E 56.788330°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 76.717699°
E 56.777344°		 ← 280.67 m →
78 761 m²		 N 76.717699°
E 56.788330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657730102539062 y=0.157730102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657730102539062 × 215)
    floor (0.657730102539062 × 32768)
    floor (21552.5)     		tx = 21552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157730102539062 × 215)
    floor (0.157730102539062 × 32768)
    floor (5168.5)     		ty = 5168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21552 / 5168 ti = "15/21552/5168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21552/5168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21552 ÷ 215
    21552 ÷ 32768     		x = 0.65771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5168 ÷ 215
    5168 ÷ 32768     		y = 0.15771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65771484375 × 2 - 1) × π
    0.3154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.99095159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    0.6845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1506410645542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99095159} λ = 0.99095159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1506410645542))-π/2
    2×atan(8.59036361000901)-π/2
    2×1.45490841303141-π/2
    2.90981682606282-1.57079632675     		φ = 1.33902050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99095159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33902050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.720223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21552 KachelY 5168 0.99095159 1.33902050 56.777344 76.720223
    Oben rechts KachelX + 1 21553 KachelY 5168 0.99114334 1.33902050 56.788330 76.720223
    Unten links KachelX 21552 KachelY + 1 5169 0.99095159 1.33897645 56.777344 76.717699
    Unten rechts KachelX + 1 21553 KachelY + 1 5169 0.99114334 1.33897645 56.788330 76.717699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33902050-1.33897645) × R
    4.40499999998512e-05 × 6371000     		dl = 280.642549999052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33902050-1.33897645) × R
    4.40499999998512e-05 × 6371000     		dr = 280.642549999052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99095159-0.99114334) × cos(1.33902050) × R
    0.000191750000000046 × 0.229706226029548 × 6371000     		do = 280.618141687135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99095159-0.99114334) × cos(1.33897645) × R
    0.000191750000000046 × 0.229749097910174 × 6371000     		du = 280.670515659229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33902050)-sin(1.33897645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229706226029548-0.229749097910174)×R²
    abs(0.99114334-0.99095159)×4.28718806253781e-05×R²
    0.000191750000000046×4.28718806253781e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.28718806253781e-05×40589641000000     		ar = 78760.7400543482m²