Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21570 / 5186
↖ ↑ ↗
← N 76.674722°
E 56.975098°		 ← 281.55 m → N 76.674722°
E 56.986084°		 →
↑
281.60 m
↓
↑
281.60 m
↓
N 76.672189°
E 56.975098°		 ← 281.60 m →
79 291 m²		 N 76.672189°
E 56.986084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658279418945312 y=0.158279418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658279418945312 × 215)
    floor (0.658279418945312 × 32768)
    floor (21570.5)     		tx = 21570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158279418945312 × 215)
    floor (0.158279418945312 × 32768)
    floor (5186.5)     		ty = 5186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21570 / 5186 ti = "15/21570/5186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21570/5186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21570 ÷ 215
    21570 ÷ 32768     		x = 0.65826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5186 ÷ 215
    5186 ÷ 32768     		y = 0.15826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65826416015625 × 2 - 1) × π
    0.3165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.99440305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15826416015625 × 2 - 1) × π
    0.6834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14718960778156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99440305} λ = 0.99440305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14718960778156))-π/2
    2×atan(8.56076544911668)-π/2
    2×1.45451133596676-π/2
    2.90902267193353-1.57079632675     		φ = 1.33822635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99440305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33822635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.674722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21570 KachelY 5186 0.99440305 1.33822635 56.975098 76.674722
    Oben rechts KachelX + 1 21571 KachelY 5186 0.99459479 1.33822635 56.986084 76.674722
    Unten links KachelX 21570 KachelY + 1 5187 0.99440305 1.33818215 56.975098 76.672189
    Unten rechts KachelX + 1 21571 KachelY + 1 5187 0.99459479 1.33818215 56.986084 76.672189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33822635-1.33818215) × R
    4.42000000000498e-05 × 6371000     		dl = 281.598200000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33822635-1.33818215) × R
    4.42000000000498e-05 × 6371000     		dr = 281.598200000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99440305-0.99459479) × cos(1.33822635) × R
    0.000191739999999996 × 0.230479067951438 × 6371000     		do = 281.547591891468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99440305-0.99459479) × cos(1.33818215) × R
    0.000191739999999996 × 0.230522077742208 × 6371000     		du = 281.600131599854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33822635)-sin(1.33818215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230479067951438-0.230522077742208)×R²
    abs(0.99459479-0.99440305)×4.30097907704596e-05×R²
    0.000191739999999996×4.30097907704596e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.30097907704596e-05×40589641000000     		ar = 79290.6926476078m²