Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21572 / 5188
↖ ↑ ↗
← N 76.669656°
E 56.997070°		 ← 281.67 m → N 76.669656°
E 57.008057°		 →
↑
281.66 m
↓
↑
281.66 m
↓
N 76.667123°
E 56.997070°		 ← 281.72 m →
79 342 m²		 N 76.667123°
E 57.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658340454101562 y=0.158340454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658340454101562 × 215)
    floor (0.658340454101562 × 32768)
    floor (21572.5)     		tx = 21572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158340454101562 × 215)
    floor (0.158340454101562 × 32768)
    floor (5188.5)     		ty = 5188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21572 / 5188 ti = "15/21572/5188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21572/5188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21572 ÷ 215
    21572 ÷ 32768     		x = 0.6583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5188 ÷ 215
    5188 ÷ 32768     		y = 0.1583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6583251953125 × 2 - 1) × π
    0.316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99478654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1583251953125 × 2 - 1) × π
    0.683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14680611258459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99478654} λ = 0.99478654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14680611258459))-π/2
    2×atan(8.55748306611392)-π/2
    2×1.4544671339112-π/2
    2.90893426782239-1.57079632675     		φ = 1.33813794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99478654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33813794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.669656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21572 KachelY 5188 0.99478654 1.33813794 56.997070 76.669656
    Oben rechts KachelX + 1 21573 KachelY 5188 0.99497829 1.33813794 57.008057 76.669656
    Unten links KachelX 21572 KachelY + 1 5189 0.99478654 1.33809373 56.997070 76.667123
    Unten rechts KachelX + 1 21573 KachelY + 1 5189 0.99497829 1.33809373 57.008057 76.667123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33813794-1.33809373) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dl = 281.66190999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33813794-1.33809373) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dr = 281.66190999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99478654-0.99497829) × cos(1.33813794) × R
    0.000191750000000046 × 0.23056509681319 × 6371000     		do = 281.667371947111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99478654-0.99497829) × cos(1.33809373) × R
    0.000191750000000046 × 0.230608115433528 × 6371000     		du = 281.719925182196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33813794)-sin(1.33809373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23056509681319-0.230608115433528)×R²
    abs(0.99497829-0.99478654)×4.30186203372596e-05×R²
    0.000191750000000046×4.30186203372596e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.30186203372596e-05×40589641000000     		ar = 79342.3711026826m²