Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 216 / 24
↖ ↑ ↗
← N 81.093214°
E123.750000°		 ← 24.210 km → N 81.093214°
E125.156250°		 →
↑
24.506 km
↓
↑
24.506 km
↓
N 80.872827°
E123.750000°		 ← 24.804 km →
600.567 km²		 N 80.872827°
E125.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.845703125 y=0.095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.845703125 × 28)
    floor (0.845703125 × 256)
    floor (216.5)     		tx = 216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095703125 × 28)
    floor (0.095703125 × 256)
    floor (24.5)     		ty = 24
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 216 / 24 ti = "8/216/24"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/216/24.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 216 ÷ 28
    216 ÷ 256     		x = 0.84375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24 ÷ 28
    24 ÷ 256     		y = 0.09375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84375 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Λ = 2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09375 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.15984495} λ = 2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55254403096875))-π/2
    2×atan(12.8397269308608)-π/2
    2×1.49306995476775-π/2
    2.98613990953549-1.57079632675     		φ = 1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 216 KachelY 24 2.15984495 1.41534358 123.750000 81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 217 KachelY 24 2.18438864 1.41534358 125.156250 81.093214
    Unten links KachelX 216 KachelY + 1 25 2.15984495 1.41149711 123.750000 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 217 KachelY + 1 25 2.18438864 1.41149711 125.156250 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41534358-1.41149711) × R
    0.00384647000000005 × 6371000     		dl = 24505.8603700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41534358-1.41149711) × R
    0.00384647000000005 × 6371000     		dr = 24505.8603700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.15984495-2.18438864) × cos(1.41534358) × R
    0.0245436899999998 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 24210.0278947831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.15984495-2.18438864) × cos(1.41149711) × R
    0.0245436899999998 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 24804.0588363198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41534358)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.15862633525071)×R²
    abs(2.18438864-2.15984495)×0.00379893274335902×R²
    0.0245436899999998×0.00379893274335902×6371000²
    0.0245436899999998×0.00379893274335902×40589641000000     		ar = 600566923.263552m²