Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 216 / 312
↖ ↑ ↗
← S 36.597889°
W 28.125000°		 ← 62.769 km → S 36.597889°
W 27.421875°		 →
↑
62.539 km
↓
↑
62.539 km
↓
S 37.160316°
W 28.125000°		 ← 62.309 km →
3 911.15 km²		 S 37.160316°
W 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4228515625 y=0.6103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4228515625 × 29)
    floor (0.4228515625 × 512)
    floor (216.5)     		tx = 216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6103515625 × 29)
    floor (0.6103515625 × 512)
    floor (312.5)     		ty = 312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 216 / 312 ti = "9/216/312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/216/312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 216 ÷ 29
    216 ÷ 512     		x = 0.421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 312 ÷ 29
    312 ÷ 512     		y = 0.609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421875 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609375 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Φ = -0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49087385} λ = -0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687223392953125))-π/2
    2×atan(0.502970683966761)-π/2
    2×0.466021331079369-π/2
    0.932042662158738-1.57079632675     		φ = -0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 216 KachelY 312 -0.49087385 -0.63875366 -28.125000 -36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 217 KachelY 312 -0.47860201 -0.63875366 -27.421875 -36.597889
    Unten links KachelX 216 KachelY + 1 313 -0.49087385 -0.64856987 -28.125000 -37.160316
    Unten rechts KachelX + 1 217 KachelY + 1 313 -0.47860201 -0.64856987 -27.421875 -37.160316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63875366--0.64856987) × R
    0.00981620999999999 × 6371000     		dl = 62539.0739099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63875366--0.64856987) × R
    0.00981620999999999 × 6371000     		dr = 62539.0739099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49087385--0.47860201) × cos(-0.63875366) × R
    0.01227184 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 62769.1128409493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49087385--0.47860201) × cos(-0.64856987) × R
    0.01227184 × 0.796948479384723 × 6371000     		du = 62308.5343518263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63875366)-sin(-0.64856987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.796948479384723)×R²
    abs(-0.47860201--0.49087385)×0.00589096390024635×R²
    0.01227184×0.00589096390024635×6371000²
    0.01227184×0.00589096390024635×40589641000000     		ar = 3911151517.07726m²