Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 216 / 345
↖ ↑ ↗
← S 52.908902°
W 28.125000°		 ← 47.151 km → S 52.908902°
W 27.421875°		 →
↑
46.921 km
↓
↑
46.921 km
↓
S 53.330873°
W 28.125000°		 ← 46.691 km →
2 201.60 km²		 S 53.330873°
W 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4228515625 y=0.6748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4228515625 × 29)
    floor (0.4228515625 × 512)
    floor (216.5)     		tx = 216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6748046875 × 29)
    floor (0.6748046875 × 512)
    floor (345.5)     		ty = 345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 216 / 345 ti = "9/216/345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/216/345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 216 ÷ 29
    216 ÷ 512     		x = 0.421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 345 ÷ 29
    345 ÷ 512     		y = 0.673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421875 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673828125 × 2 - 1) × π
    -0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49087385} λ = -0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09219432094336))-π/2
    2×atan(0.335479535670024)-π/2
    2×0.323680891232481-π/2
    0.647361782464962-1.57079632675     		φ = -0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 216 KachelY 345 -0.49087385 -0.92343454 -28.125000 -52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 217 KachelY 345 -0.47860201 -0.92343454 -27.421875 -52.908902
    Unten links KachelX 216 KachelY + 1 346 -0.49087385 -0.93079933 -28.125000 -53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 217 KachelY + 1 346 -0.47860201 -0.93079933 -27.421875 -53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92343454--0.93079933) × R
    0.00736479000000001 × 6371000     		dl = 46921.0770900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92343454--0.93079933) × R
    0.00736479000000001 × 6371000     		dr = 46921.0770900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49087385--0.47860201) × cos(-0.92343454) × R
    0.01227184 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 47151.4596566982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49087385--0.47860201) × cos(-0.93079933) × R
    0.01227184 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 46690.875938463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92343454)-sin(-0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.597193032501625)×R²
    abs(-0.47860201--0.49087385)×0.00589103078246522×R²
    0.01227184×0.00589103078246522×6371000²
    0.01227184×0.00589103078246522×40589641000000     		ar = 2201601682.65593m²