Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21632 / 21632
↖ ↑ ↗
← S 49.837983°
E 57.656250°		 ← 787.86 m → S 49.837983°
E 57.667236°		 →
↑
787.84 m
↓
↑
787.84 m
↓
S 49.845068°
E 57.656250°		 ← 787.74 m →
620 658 m²		 S 49.845068°
E 57.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660171508789062 y=0.660171508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660171508789062 × 215)
    floor (0.660171508789062 × 32768)
    floor (21632.5)     		tx = 21632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660171508789062 × 215)
    floor (0.660171508789062 × 32768)
    floor (21632.5)     		ty = 21632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21632 / 21632 ti = "15/21632/21632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21632/21632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21632 ÷ 215
    21632 ÷ 32768     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21632 ÷ 215
    21632 ÷ 32768     		y = 0.66015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66015625 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00629139682422))-π/2
    2×atan(0.365572231021132)-π/2
    2×0.350479720227978-π/2
    0.700959440455956-1.57079632675     		φ = -0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21632 KachelY 21632 1.00629140 -0.86983689 57.656250 -49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 21633 KachelY 21632 1.00648314 -0.86983689 57.667236 -49.837983
    Unten links KachelX 21632 KachelY + 1 21633 1.00629140 -0.86996055 57.656250 -49.845068
    Unten rechts KachelX + 1 21633 KachelY + 1 21633 1.00648314 -0.86996055 57.667236 -49.845068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86983689--0.86996055) × R
    0.000123660000000081 × 6371000     		dl = 787.837860000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86983689--0.86996055) × R
    0.000123660000000081 × 6371000     		dr = 787.837860000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00648314) × cos(-0.86983689) × R
    0.000191739999999996 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 787.856620619409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00648314) × cos(-0.86996055) × R
    0.000191739999999996 × 0.644856699514786 × 6371000     		du = 787.741170932376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86983689)-sin(-0.86996055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.644856699514786)×R²
    abs(1.00648314-1.00629140)×9.45088398163207e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45088398163207e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45088398163207e-05×40589641000000     		ar = 620657.796949268m²