Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21632 / 5248
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
E 57.656250°		 ← 284.82 m → N 76.516819°
E 57.667236°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
N 76.514257°
E 57.656250°		 ← 284.88 m →
81 139 m²		 N 76.514257°
E 57.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660171508789062 y=0.160171508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660171508789062 × 215)
    floor (0.660171508789062 × 32768)
    floor (21632.5)     		tx = 21632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160171508789062 × 215)
    floor (0.160171508789062 × 32768)
    floor (5248.5)     		ty = 5248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21632 / 5248 ti = "15/21632/5248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21632/5248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21632 ÷ 215
    21632 ÷ 32768     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5248 ÷ 215
    5248 ÷ 32768     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21632 KachelY 5248 1.00629140 1.33547042 57.656250 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 21633 KachelY 5248 1.00648314 1.33547042 57.667236 76.516819
    Unten links KachelX 21632 KachelY + 1 5249 1.00629140 1.33542571 57.656250 76.514257
    Unten rechts KachelX + 1 21633 KachelY + 1 5249 1.00648314 1.33542571 57.667236 76.514257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.33542571) × R
    4.47100000000589e-05 × 6371000     		dl = 284.847410000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.33542571) × R
    4.47100000000589e-05 × 6371000     		dr = 284.847410000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00648314) × cos(1.33547042) × R
    0.000191739999999996 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 284.822457834888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00648314) × cos(1.33542571) × R
    0.000191739999999996 × 0.233203399661057 × 6371000     		du = 284.875568870785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.33542571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.233203399661057)×R²
    abs(1.00648314-1.00629140)×4.34774880126165e-05×R²
    0.000191739999999996×4.34774880126165e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.34774880126165e-05×40589641000000     		ar = 81138.5037088638m²