Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21640 / 5256
↖ ↑ ↗
← N 76.496311°
E 57.744141°		 ← 285.26 m → N 76.496311°
E 57.755127°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 76.493745°
E 57.744141°		 ← 285.32 m →
81 391 m²		 N 76.493745°
E 57.755127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660415649414062 y=0.160415649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660415649414062 × 215)
    floor (0.660415649414062 × 32768)
    floor (21640.5)     		tx = 21640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160415649414062 × 215)
    floor (0.160415649414062 × 32768)
    floor (5256.5)     		ty = 5256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21640 / 5256 ti = "15/21640/5256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21640/5256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21640 ÷ 215
    21640 ÷ 32768     		x = 0.660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5256 ÷ 215
    5256 ÷ 32768     		y = 0.160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.660400390625 × 2 - 1) × π
    0.32080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00782538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160400390625 × 2 - 1) × π
    0.67919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13376727588794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00782538} λ = 1.00782538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13376727588794))-π/2
    2×atan(8.44662772477705)-π/2
    2×1.45295440980698-π/2
    2.90590881961397-1.57079632675     		φ = 1.33511249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00782538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.744141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33511249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.496311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21640 KachelY 5256 1.00782538 1.33511249 57.744141 76.496311
    Oben rechts KachelX + 1 21641 KachelY 5256 1.00801713 1.33511249 57.755127 76.496311
    Unten links KachelX 21640 KachelY + 1 5257 1.00782538 1.33506771 57.744141 76.493745
    Unten rechts KachelX + 1 21641 KachelY + 1 5257 1.00801713 1.33506771 57.755127 76.493745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33511249-1.33506771) × R
    4.47800000000775e-05 × 6371000     		dl = 285.293380000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33511249-1.33506771) × R
    4.47800000000775e-05 × 6371000     		dr = 285.293380000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00782538-1.00801713) × cos(1.33511249) × R
    0.000191749999999935 × 0.23350797210825 × 6371000     		do = 285.262503915247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00782538-1.00801713) × cos(1.33506771) × R
    0.000191749999999935 × 0.233551513925971 × 6371000     		du = 285.315696308791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33511249)-sin(1.33506771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23350797210825-0.233551513925971)×R²
    abs(1.00801713-1.00782538)×4.35418177205105e-05×R²
    0.000191749999999935×4.35418177205105e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.35418177205105e-05×40589641000000     		ar = 81391.0916620603m²