Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21648 / 5264
↖ ↑ ↗
← N 76.475773°
E 57.832031°		 ← 285.69 m → N 76.475773°
E 57.843018°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
N 76.473203°
E 57.832031°		 ← 285.74 m →
81 640 m²		 N 76.473203°
E 57.843018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660659790039062 y=0.160659790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660659790039062 × 215)
    floor (0.660659790039062 × 32768)
    floor (21648.5)     		tx = 21648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160659790039062 × 215)
    floor (0.160659790039062 × 32768)
    floor (5264.5)     		ty = 5264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21648 / 5264 ti = "15/21648/5264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21648/5264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21648 ÷ 215
    21648 ÷ 32768     		x = 0.66064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5264 ÷ 215
    5264 ÷ 32768     		y = 0.16064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66064453125 × 2 - 1) × π
    0.3212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.00935936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16064453125 × 2 - 1) × π
    0.6787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1322332951001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00935936} λ = 1.00935936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1322332951001))-π/2
    2×atan(8.43368069291306)-π/2
    2×1.45277517780577-π/2
    2.90555035561154-1.57079632675     		φ = 1.33475403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00935936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33475403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.475773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21648 KachelY 5264 1.00935936 1.33475403 57.832031 76.475773
    Oben rechts KachelX + 1 21649 KachelY 5264 1.00955111 1.33475403 57.843018 76.475773
    Unten links KachelX 21648 KachelY + 1 5265 1.00935936 1.33470918 57.832031 76.473203
    Unten rechts KachelX + 1 21649 KachelY + 1 5265 1.00955111 1.33470918 57.843018 76.473203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33475403-1.33470918) × R
    4.48500000000962e-05 × 6371000     		dl = 285.739350000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33475403-1.33470918) × R
    4.48500000000962e-05 × 6371000     		dr = 285.739350000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00935936-1.00955111) × cos(1.33475403) × R
    0.000191750000000157 × 0.23385650743157 × 6371000     		do = 285.688288346557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00935936-1.00955111) × cos(1.33470918) × R
    0.000191750000000157 × 0.233900113556156 × 6371000     		du = 285.741559299892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33475403)-sin(1.33470918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23385650743157-0.233900113556156)×R²
    abs(1.00955111-1.00935936)×4.36061245862041e-05×R²
    0.000191750000000157×4.36061245862041e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.36061245862041e-05×40589641000000     		ar = 81639.9966327868m²