Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21760 / 29952
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E 59.062500°		 ← 180.18 m → S 81.518272°
E 59.073486°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
S 81.519892°
E 59.062500°		 ← 180.15 m →
32 461 m²		 S 81.519892°
E 59.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664077758789062 y=0.914077758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664077758789062 × 215)
    floor (0.664077758789062 × 32768)
    floor (21760.5)     		tx = 21760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914077758789062 × 215)
    floor (0.914077758789062 × 32768)
    floor (29952.5)     		ty = 29952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21760 / 29952 ti = "15/21760/29952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21760/29952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21760 ÷ 215
    21760 ÷ 32768     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29952 ÷ 215
    29952 ÷ 32768     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21760 KachelY 29952 1.03083509 -1.42276224 59.062500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 21761 KachelY 29952 1.03102684 -1.42276224 59.073486 -81.518272
    Unten links KachelX 21760 KachelY + 1 29953 1.03083509 -1.42279052 59.062500 -81.519892
    Unten rechts KachelX + 1 21761 KachelY + 1 29953 1.03102684 -1.42279052 59.073486 -81.519892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42279052) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42279052) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03102684) × cos(-1.42276224) × R
    0.000191749999999935 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 180.184467885069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03102684) × cos(-1.42279052) × R
    0.000191749999999935 × 0.147466036072315 × 6371000     		du = 180.150297707795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42279052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147466036072315)×R²
    abs(1.03102684-1.03083509)×2.79707591861189e-05×R²
    0.000191749999999935×2.79707591861189e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.79707591861189e-05×40589641000000     		ar = 32461.0960750918m²