Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21760 / 5376
↖ ↑ ↗
← N 76.184995°
E 59.062500°		 ← 291.71 m → N 76.184995°
E 59.073486°		 →
↑
291.73 m
↓
↑
291.73 m
↓
N 76.182372°
E 59.062500°		 ← 291.77 m →
85 109 m²		 N 76.182372°
E 59.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664077758789062 y=0.164077758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664077758789062 × 215)
    floor (0.664077758789062 × 32768)
    floor (21760.5)     		tx = 21760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164077758789062 × 215)
    floor (0.164077758789062 × 32768)
    floor (5376.5)     		ty = 5376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21760 / 5376 ti = "15/21760/5376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21760/5376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21760 ÷ 215
    21760 ÷ 32768     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5376 ÷ 215
    5376 ÷ 32768     		y = 0.1640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1640625 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11075756407031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11075756407031))-π/2
    2×atan(8.25449222331149)-π/2
    2×1.45023766909548-π/2
    2.90047533819095-1.57079632675     		φ = 1.32967901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32967901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21760 KachelY 5376 1.03083509 1.32967901 59.062500 76.184995
    Oben rechts KachelX + 1 21761 KachelY 5376 1.03102684 1.32967901 59.073486 76.184995
    Unten links KachelX 21760 KachelY + 1 5377 1.03083509 1.32963322 59.062500 76.182372
    Unten rechts KachelX + 1 21761 KachelY + 1 5377 1.03102684 1.32963322 59.073486 76.182372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32967901-1.32963322) × R
    4.57899999999345e-05 × 6371000     		dl = 291.728089999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32967901-1.32963322) × R
    4.57899999999345e-05 × 6371000     		dr = 291.728089999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03102684) × cos(1.32967901) × R
    0.000191749999999935 × 0.238787770060559 × 6371000     		do = 291.712512325855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03102684) × cos(1.32963322) × R
    0.000191749999999935 × 0.238832235186989 × 6371000     		du = 291.766832669558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32967901)-sin(1.32963322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238787770060559-0.238832235186989)×R²
    abs(1.03102684-1.03083509)×4.44651264299711e-05×R²
    0.000191749999999935×4.44651264299711e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.44651264299711e-05×40589641000000     		ar = 85108.6574497235m²