Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21776 / 5392
↖ ↑ ↗
← N 76.142959°
E 59.238281°		 ← 292.58 m → N 76.142959°
E 59.249268°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
N 76.140327°
E 59.238281°		 ← 292.64 m →
85 624 m²		 N 76.140327°
E 59.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664566040039062 y=0.164566040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664566040039062 × 215)
    floor (0.664566040039062 × 32768)
    floor (21776.5)     		tx = 21776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164566040039062 × 215)
    floor (0.164566040039062 × 32768)
    floor (5392.5)     		ty = 5392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21776 / 5392 ti = "15/21776/5392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21776/5392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21776 ÷ 215
    21776 ÷ 32768     		x = 0.66455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5392 ÷ 215
    5392 ÷ 32768     		y = 0.16455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.03390305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10768960249463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03390305} λ = 1.03390305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10768960249463))-π/2
    2×atan(8.22920656588948)-π/2
    2×1.44987082710024-π/2
    2.89974165420049-1.57079632675     		φ = 1.32894533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03390305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32894533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.142959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21776 KachelY 5392 1.03390305 1.32894533 59.238281 76.142959
    Oben rechts KachelX + 1 21777 KachelY 5392 1.03409480 1.32894533 59.249268 76.142959
    Unten links KachelX 21776 KachelY + 1 5393 1.03390305 1.32889940 59.238281 76.140327
    Unten rechts KachelX + 1 21777 KachelY + 1 5393 1.03409480 1.32889940 59.249268 76.140327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32894533-1.32889940) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dl = 292.620029999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32894533-1.32889940) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dr = 292.620029999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03390305-1.03409480) × cos(1.32894533) × R
    0.000191750000000157 × 0.239500161671703 × 6371000     		do = 292.582797879738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03390305-1.03409480) × cos(1.32889940) × R
    0.000191750000000157 × 0.239544754687242 × 6371000     		du = 292.637274457797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32894533)-sin(1.32889940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239500161671703-0.239544754687242)×R²
    abs(1.03409480-1.03390305)×4.45930155393015e-05×R²
    0.000191750000000157×4.45930155393015e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.45930155393015e-05×40589641000000     		ar = 85623.5575769668m²