Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21792 / 5408
↖ ↑ ↗
← N 76.100796°
E 59.414062°		 ← 293.46 m → N 76.100796°
E 59.425049°		 →
↑
293.45 m
↓
↑
293.45 m
↓
N 76.098157°
E 59.414062°		 ← 293.51 m →
86 122 m²		 N 76.098157°
E 59.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.665054321289062 y=0.165054321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.665054321289062 × 215)
    floor (0.665054321289062 × 32768)
    floor (21792.5)     		tx = 21792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165054321289062 × 215)
    floor (0.165054321289062 × 32768)
    floor (5408.5)     		ty = 5408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21792 / 5408 ti = "15/21792/5408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21792/5408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21792 ÷ 215
    21792 ÷ 32768     		x = 0.6650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5408 ÷ 215
    5408 ÷ 32768     		y = 0.1650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6650390625 × 2 - 1) × π
    0.330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03697101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1650390625 × 2 - 1) × π
    0.669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10462164091895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03697101} λ = 1.03697101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10462164091895))-π/2
    2×atan(8.20399836501525)-π/2
    2×1.44950289077394-π/2
    2.89900578154787-1.57079632675     		φ = 1.32820945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03697101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.414062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32820945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.100796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21792 KachelY 5408 1.03697101 1.32820945 59.414062 76.100796
    Oben rechts KachelX + 1 21793 KachelY 5408 1.03716276 1.32820945 59.425049 76.100796
    Unten links KachelX 21792 KachelY + 1 5409 1.03697101 1.32816339 59.414062 76.098157
    Unten rechts KachelX + 1 21793 KachelY + 1 5409 1.03716276 1.32816339 59.425049 76.098157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32820945-1.32816339) × R
    4.60599999998479e-05 × 6371000     		dl = 293.448259999031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32820945-1.32816339) × R
    4.60599999998479e-05 × 6371000     		dr = 293.448259999031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03697101-1.03716276) × cos(1.32820945) × R
    0.000191749999999935 × 0.240214559947368 × 6371000     		do = 293.455534853083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03697101-1.03716276) × cos(1.32816339) × R
    0.000191749999999935 × 0.240259271047362 × 6371000     		du = 293.510155687746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32820945)-sin(1.32816339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240214559947368-0.240259271047362)×R²
    abs(1.03716276-1.03697101)×4.47110999938216e-05×R²
    0.000191749999999935×4.47110999938216e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.47110999938216e-05×40589641000000     		ar = 86122.0302995618m²