Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22018 / 5634
↖ ↑ ↗
← N 75.491654°
E 61.896973°		 ← 306.05 m → N 75.491654°
E 61.907959°		 →
↑
306.13 m
↓
↑
306.13 m
↓
N 75.488901°
E 61.896973°		 ← 306.10 m →
93 698 m²		 N 75.488901°
E 61.907959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671951293945312 y=0.171951293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671951293945312 × 215)
    floor (0.671951293945312 × 32768)
    floor (22018.5)     		tx = 22018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171951293945312 × 215)
    floor (0.171951293945312 × 32768)
    floor (5634.5)     		ty = 5634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22018 / 5634 ti = "15/22018/5634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22018/5634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22018 ÷ 215
    22018 ÷ 32768     		x = 0.67193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5634 ÷ 215
    5634 ÷ 32768     		y = 0.17193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67193603515625 × 2 - 1) × π
    0.3438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.08030597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17193603515625 × 2 - 1) × π
    0.6561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06128668366241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08030597} λ = 1.08030597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06128668366241))-π/2
    2×atan(7.8560715889923)-π/2
    2×1.44418712105585-π/2
    2.88837424211171-1.57079632675     		φ = 1.31757792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08030597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31757792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.491654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22018 KachelY 5634 1.08030597 1.31757792 61.896973 75.491654
    Oben rechts KachelX + 1 22019 KachelY 5634 1.08049772 1.31757792 61.907959 75.491654
    Unten links KachelX 22018 KachelY + 1 5635 1.08030597 1.31752987 61.896973 75.488901
    Unten rechts KachelX + 1 22019 KachelY + 1 5635 1.08049772 1.31752987 61.907959 75.488901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31757792-1.31752987) × R
    4.80499999999662e-05 × 6371000     		dl = 306.126549999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31757792-1.31752987) × R
    4.80499999999662e-05 × 6371000     		dr = 306.126549999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08030597-1.08049772) × cos(1.31757792) × R
    0.000191750000000157 × 0.250521026871225 × 6371000     		do = 306.046319376443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08030597-1.08049772) × cos(1.31752987) × R
    0.000191750000000157 × 0.250567544323168 × 6371000     		du = 306.103146921547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31757792)-sin(1.31752987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250521026871225-0.250567544323168)×R²
    abs(1.08049772-1.08030597)×4.65174519432843e-05×R²
    0.000191750000000157×4.65174519432843e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.65174519432843e-05×40589641000000     		ar = 93697.6021186671m²