Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22032 / 5648
↖ ↑ ↗
← N 75.453072°
E 62.050781°		 ← 306.83 m → N 75.453072°
E 62.061767°		 →
↑
306.89 m
↓
↑
306.89 m
↓
N 75.450312°
E 62.050781°		 ← 306.88 m →
94 171 m²		 N 75.450312°
E 62.061767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.672378540039062 y=0.172378540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.672378540039062 × 215)
    floor (0.672378540039062 × 32768)
    floor (22032.5)     		tx = 22032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172378540039062 × 215)
    floor (0.172378540039062 × 32768)
    floor (5648.5)     		ty = 5648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22032 / 5648 ti = "15/22032/5648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22032/5648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22032 ÷ 215
    22032 ÷ 32768     		x = 0.67236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5648 ÷ 215
    5648 ÷ 32768     		y = 0.17236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67236328125 × 2 - 1) × π
    0.3447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.08299044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17236328125 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05860221728369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08299044} λ = 1.08299044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05860221728369))-π/2
    2×atan(7.83501051046922)-π/2
    2×1.44385042611595-π/2
    2.88770085223191-1.57079632675     		φ = 1.31690453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08299044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31690453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.453072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22032 KachelY 5648 1.08299044 1.31690453 62.050781 75.453072
    Oben rechts KachelX + 1 22033 KachelY 5648 1.08318218 1.31690453 62.061767 75.453072
    Unten links KachelX 22032 KachelY + 1 5649 1.08299044 1.31685636 62.050781 75.450312
    Unten rechts KachelX + 1 22033 KachelY + 1 5649 1.08318218 1.31685636 62.061767 75.450312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31690453-1.31685636) × R
    4.8169999999903e-05 × 6371000     		dl = 306.891069999382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31690453-1.31685636) × R
    4.8169999999903e-05 × 6371000     		dr = 306.891069999382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08299044-1.08318218) × cos(1.31690453) × R
    0.000191739999999996 × 0.251172886395047 × 6371000     		do = 306.826654331382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08299044-1.08318218) × cos(1.31685636) × R
    0.000191739999999996 × 0.251219511881354 × 6371000     		du = 306.883610884995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31690453)-sin(1.31685636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251172886395047-0.251219511881354)×R²
    abs(1.08318218-1.08299044)×4.66254863072391e-05×R²
    0.000191739999999996×4.66254863072391e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.66254863072391e-05×40589641000000     		ar = 94171.0999990651m²