Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22144 / 3712
↖ ↑ ↗
← N 79.935918°
E 63.281250°		 ← 213.47 m → N 79.935918°
E 63.292236°		 →
↑
213.49 m
↓
↑
213.49 m
↓
N 79.933998°
E 63.281250°		 ← 213.51 m →
45 578 m²		 N 79.933998°
E 63.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.675796508789062 y=0.113296508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.675796508789062 × 215)
    floor (0.675796508789062 × 32768)
    floor (22144.5)     		tx = 22144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113296508789062 × 215)
    floor (0.113296508789062 × 32768)
    floor (3712.5)     		ty = 3712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22144 / 3712 ti = "15/22144/3712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22144/3712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22144 ÷ 215
    22144 ÷ 32768     		x = 0.67578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3712 ÷ 215
    3712 ÷ 32768     		y = 0.11328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67578125 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11328125 × 2 - 1) × π
    0.7734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42982556794141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.10446617} λ = 1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42982556794141))-π/2
    2×atan(11.3569008996126)-π/2
    2×1.48297064539246-π/2
    2.96594129078492-1.57079632675     		φ = 1.39514496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39514496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.935918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22144 KachelY 3712 1.10446617 1.39514496 63.281250 79.935918
    Oben rechts KachelX + 1 22145 KachelY 3712 1.10465791 1.39514496 63.292236 79.935918
    Unten links KachelX 22144 KachelY + 1 3713 1.10446617 1.39511145 63.281250 79.933998
    Unten rechts KachelX + 1 22145 KachelY + 1 3713 1.10465791 1.39511145 63.292236 79.933998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39514496-1.39511145) × R
    3.35100000001809e-05 × 6371000     		dl = 213.492210001152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39514496-1.39511145) × R
    3.35100000001809e-05 × 6371000     		dr = 213.492210001152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.10446617-1.10465791) × cos(1.39514496) × R
    0.000191739999999996 × 0.174749518782549 × 6371000     		do = 213.469737771528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.10446617-1.10465791) × cos(1.39511145) × R
    0.000191739999999996 × 0.174782513063436 × 6371000     		du = 213.51004277802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39514496)-sin(1.39511145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174749518782549-0.174782513063436)×R²
    abs(1.10465791-1.10446617)×3.29942808871275e-05×R²
    0.000191739999999996×3.29942808871275e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.29942808871275e-05×40589641000000     		ar = 45578.4284918537m²