Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22272 / 6912
↖ ↑ ↗
← N 71.524909°
E 64.687500°		 ← 387.13 m → N 71.524909°
E 64.698486°		 →
↑
387.17 m
↓
↑
387.17 m
↓
N 71.521427°
E 64.687500°		 ← 387.20 m →
149 896 m²		 N 71.521427°
E 64.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.679702758789062 y=0.210952758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.679702758789062 × 215)
    floor (0.679702758789062 × 32768)
    floor (22272.5)     		tx = 22272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210952758789062 × 215)
    floor (0.210952758789062 × 32768)
    floor (6912.5)     		ty = 6912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22272 / 6912 ti = "15/22272/6912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22272/6912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22272 ÷ 215
    22272 ÷ 32768     		x = 0.6796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6912 ÷ 215
    6912 ÷ 32768     		y = 0.2109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6796875 × 2 - 1) × π
    0.359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.12900986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2109375 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.12900986} λ = 1.12900986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81623325280469))-π/2
    2×atan(6.14865434880464)-π/2
    2×1.40957074333464-π/2
    2.81914148666927-1.57079632675     		φ = 1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.12900986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 64.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22272 KachelY 6912 1.12900986 1.24834516 64.687500 71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 22273 KachelY 6912 1.12920161 1.24834516 64.698486 71.524909
    Unten links KachelX 22272 KachelY + 1 6913 1.12900986 1.24828439 64.687500 71.521427
    Unten rechts KachelX + 1 22273 KachelY + 1 6913 1.12920161 1.24828439 64.698486 71.521427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24834516-1.24828439) × R
    6.07699999999323e-05 × 6371000     		dl = 387.165669999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24834516-1.24828439) × R
    6.07699999999323e-05 × 6371000     		dr = 387.165669999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.12900986-1.12920161) × cos(1.24834516) × R
    0.000191749999999935 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 387.128129891367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.12900986-1.12920161) × cos(1.24828439) × R
    0.000191749999999935 × 0.316949985052591 × 6371000     		du = 387.198542027028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24834516)-sin(1.24828439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.316949985052591)×R²
    abs(1.12920161-1.12900986)×5.76374209166342e-05×R²
    0.000191749999999935×5.76374209166342e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.76374209166342e-05×40589641000000     		ar = 149896.352412616m²