Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 223 / 479
↖ ↑ ↗
← S 82.586106°
W 23.203125°		 ← 10.089 km → S 82.586106°
W 22.500000°		 →
↑
10.027 km
↓
↑
10.027 km
↓
S 82.676285°
W 23.203125°		 ← 9 966.51 m →
100.551 km²		 S 82.676285°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4365234375 y=0.9365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4365234375 × 29)
    floor (0.4365234375 × 512)
    floor (223.5)     		tx = 223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9365234375 × 29)
    floor (0.9365234375 × 512)
    floor (479.5)     		ty = 479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 223 / 479 ti = "9/223/479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/223/479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 223 ÷ 29
    223 ÷ 512     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 479 ÷ 29
    479 ÷ 512     		y = 0.935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.935546875 × 2 - 1) × π
    -0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.73662172550977))-π/2
    2×atan(0.0647888521264191)-π/2
    2×0.0646984272958243-π/2
    0.129396854591649-1.57079632675     		φ = -1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 223 KachelY 479 -0.40497093 -1.44139947 -23.203125 -82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 224 KachelY 479 -0.39269908 -1.44139947 -22.500000 -82.586106
    Unten links KachelX 223 KachelY + 1 480 -0.40497093 -1.44297339 -23.203125 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 224 KachelY + 1 480 -0.39269908 -1.44297339 -22.500000 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44139947--1.44297339) × R
    0.00157392000000001 × 6371000     		dl = 10027.44432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44139947--1.44297339) × R
    0.00157392000000001 × 6371000     		dr = 10027.44432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.39269908) × cos(-1.44139947) × R
    0.01227185 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 10088.5500937116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.39269908) × cos(-1.44297339) × R
    0.01227185 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 9966.5111101077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44139947)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.127475144203388)×R²
    abs(-0.39269908--0.40497093)×0.00156092105466782×R²
    0.01227185×0.00156092105466782×6371000²
    0.01227185×0.00156092105466782×40589641000000     		ar = 100550525.534926m²