Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22400 / 6016
↖ ↑ ↗
← N 74.402163°
E 66.093750°		 ← 328.48 m → N 74.402163°
E 66.104736°		 →
↑
328.49 m
↓
↑
328.49 m
↓
N 74.399209°
E 66.093750°		 ← 328.54 m →
107 911 m²		 N 74.399209°
E 66.104736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.683609008789062 y=0.183609008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.683609008789062 × 215)
    floor (0.683609008789062 × 32768)
    floor (22400.5)     		tx = 22400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.183609008789062 × 215)
    floor (0.183609008789062 × 32768)
    floor (6016.5)     		ty = 6016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22400 / 6016 ti = "15/22400/6016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22400/6016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22400 ÷ 215
    22400 ÷ 32768     		x = 0.68359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6016 ÷ 215
    6016 ÷ 32768     		y = 0.18359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68359375 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.15355355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18359375 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.98803910104297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.15355355} λ = 1.15355355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98803910104297))-π/2
    2×atan(7.30120279516622)-π/2
    2×1.43467951736315-π/2
    2.8693590347263-1.57079632675     		φ = 1.29856271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.15355355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29856271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.402163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22400 KachelY 6016 1.15355355 1.29856271 66.093750 74.402163
    Oben rechts KachelX + 1 22401 KachelY 6016 1.15374530 1.29856271 66.104736 74.402163
    Unten links KachelX 22400 KachelY + 1 6017 1.15355355 1.29851115 66.093750 74.399209
    Unten rechts KachelX + 1 22401 KachelY + 1 6017 1.15374530 1.29851115 66.104736 74.399209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29856271-1.29851115) × R
    5.15599999999505e-05 × 6371000     		dl = 328.488759999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29856271-1.29851115) × R
    5.15599999999505e-05 × 6371000     		dr = 328.488759999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.15355355-1.15374530) × cos(1.29856271) × R
    0.000191749999999935 × 0.268883464392247 × 6371000     		do = 328.478593777435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.15355355-1.15374530) × cos(1.29851115) × R
    0.000191749999999935 × 0.268933125220104 × 6371000     		du = 328.539261393932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29856271)-sin(1.29851115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.268883464392247-0.268933125220104)×R²
    abs(1.15374530-1.15355355)×4.966082785679e-05×R²
    0.000191749999999935×4.966082785679e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.966082785679e-05×40589641000000     		ar = 107911.490294877m²