Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22528 / 47104
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 56.250000°		 ← 290.45 m → S 61.606397°
W 56.244507°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
S 61.609009°
W 56.250000°		 ← 290.42 m →
84 357 m²		 S 61.609009°
W 56.244507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343757629394531 y=0.718757629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343757629394531 × 216)
    floor (0.343757629394531 × 65536)
    floor (22528.5)     		tx = 22528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718757629394531 × 216)
    floor (0.718757629394531 × 65536)
    floor (47104.5)     		ty = 47104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22528 / 47104 ti = "16/22528/47104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22528/47104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22528 ÷ 216
    22528 ÷ 65536     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47104 ÷ 216
    47104 ÷ 65536     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22528 KachelY 47104 -0.98174770 -1.07523446 -56.250000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 22529 KachelY 47104 -0.98165183 -1.07523446 -56.244507 -61.606397
    Unten links KachelX 22528 KachelY + 1 47105 -0.98174770 -1.07528005 -56.250000 -61.609009
    Unten rechts KachelX + 1 22529 KachelY + 1 47105 -0.98165183 -1.07528005 -56.244507 -61.609009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.07528005) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dl = 290.453890000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.07528005) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dr = 290.453890000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.98165183) × cos(-1.07523446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 290.445466009468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.98165183) × cos(-1.07528005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475485895368015 × 6371000     		du = 290.420969698277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.07528005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.475485895368015)×R²
    abs(-0.98165183--0.98174770)×4.01060931371489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01060931371489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01060931371489e-05×40589641000000     		ar = 84357.4579253118m²