Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22528 / 6144
↖ ↑ ↗
← N 74.019543°
E 67.500000°		 ← 336.31 m → N 74.019543°
E 67.510986°		 →
↑
336.33 m
↓
↑
336.33 m
↓
N 74.016519°
E 67.500000°		 ← 336.37 m →
113 120 m²		 N 74.016519°
E 67.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687515258789062 y=0.187515258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687515258789062 × 215)
    floor (0.687515258789062 × 32768)
    floor (22528.5)     		tx = 22528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187515258789062 × 215)
    floor (0.187515258789062 × 32768)
    floor (6144.5)     		ty = 6144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22528 / 6144 ti = "15/22528/6144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22528/6144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22528 ÷ 215
    22528 ÷ 32768     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6144 ÷ 215
    6144 ÷ 32768     		y = 0.1875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1875 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9634954084375))-π/2
    2×atan(7.12418553281975)-π/2
    2×1.43134053419385-π/2
    2.86268106838771-1.57079632675     		φ = 1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22528 KachelY 6144 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 22529 KachelY 6144 1.17828899 1.29188474 67.510986 74.019543
    Unten links KachelX 22528 KachelY + 1 6145 1.17809725 1.29183195 67.500000 74.016519
    Unten rechts KachelX + 1 22529 KachelY + 1 6145 1.17828899 1.29183195 67.510986 74.016519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29188474-1.29183195) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dl = 336.325090000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29188474-1.29183195) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dr = 336.325090000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17828899) × cos(1.29188474) × R
    0.000191739999999996 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 336.311301838231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17828899) × cos(1.29183195) × R
    0.000191739999999996 × 0.275360209230885 × 6371000     		du = 336.373296285724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29188474)-sin(1.29183195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.275360209230885)×R²
    abs(1.17828899-1.17809725)×5.0749581555376e-05×R²
    0.000191739999999996×5.0749581555376e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.0749581555376e-05×40589641000000     		ar = 113120.354029519m²