Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22529 / 6143
↖ ↑ ↗
← N 74.022568°
E 67.510986°		 ← 336.27 m → N 74.022568°
E 67.521973°		 →
↑
336.33 m
↓
↑
336.33 m
↓
N 74.019543°
E 67.510986°		 ← 336.33 m →
113 105 m²		 N 74.019543°
E 67.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687545776367188 y=0.187484741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687545776367188 × 215)
    floor (0.687545776367188 × 32768)
    floor (22529.5)     		tx = 22529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187484741210938 × 215)
    floor (0.187484741210938 × 32768)
    floor (6143.5)     		ty = 6143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22529 / 6143 ti = "15/22529/6143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22529/6143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22529 ÷ 215
    22529 ÷ 32768     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6143 ÷ 215
    6143 ÷ 32768     		y = 0.187469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187469482421875 × 2 - 1) × π
    0.62506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96368715603598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96368715603598))-π/2
    2×atan(7.12555170926314)-π/2
    2×1.43136692672491-π/2
    2.86273385344983-1.57079632675     		φ = 1.29193753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29193753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.022568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22529 KachelY 6143 1.17828899 1.29193753 67.510986 74.022568
    Oben rechts KachelX + 1 22530 KachelY 6143 1.17848074 1.29193753 67.521973 74.022568
    Unten links KachelX 22529 KachelY + 1 6144 1.17828899 1.29188474 67.510986 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 22530 KachelY + 1 6144 1.17848074 1.29188474 67.521973 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29193753-1.29188474) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dl = 336.325090000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29193753-1.29188474) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dr = 336.325090000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17848074) × cos(1.29193753) × R
    0.000191749999999935 × 0.275258709300546 × 6371000     		do = 336.266843185773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17848074) × cos(1.29188474) × R
    0.000191749999999935 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 336.328841803798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29193753)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275258709300546-0.275309459649329)×R²
    abs(1.17848074-1.17828899)×5.07503487834349e-05×R²
    0.000191749999999935×5.07503487834349e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.07503487834349e-05×40589641000000     		ar = 113105.402170047m²