Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22530 / 47106
↖ ↑ ↗
← S 61.611620°
W 56.239014°		 ← 290.43 m → S 61.611620°
W 56.233520°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
S 61.614232°
W 56.239014°		 ← 290.40 m →
84 334 m²		 S 61.614232°
W 56.233520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343788146972656 y=0.718788146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343788146972656 × 216)
    floor (0.343788146972656 × 65536)
    floor (22530.5)     		tx = 22530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718788146972656 × 216)
    floor (0.718788146972656 × 65536)
    floor (47106.5)     		ty = 47106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22530 / 47106 ti = "16/22530/47106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22530/47106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22530 ÷ 216
    22530 ÷ 65536     		x = 0.343780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47106 ÷ 216
    47106 ÷ 65536     		y = 0.718780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.31243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98155596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.43756103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37463853350473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98155596} λ = -0.98155596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37463853350473))-π/2
    2×atan(0.252931005367059)-π/2
    2×0.247735348282409-π/2
    0.495470696564818-1.57079632675     		φ = -1.07532563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98155596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.239014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07532563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.611620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22530 KachelY 47106 -0.98155596 -1.07532563 -56.239014 -61.611620
    Oben rechts KachelX + 1 22531 KachelY 47106 -0.98146008 -1.07532563 -56.233520 -61.611620
    Unten links KachelX 22530 KachelY + 1 47107 -0.98155596 -1.07537121 -56.239014 -61.614232
    Unten rechts KachelX + 1 22531 KachelY + 1 47107 -0.98146008 -1.07537121 -56.233520 -61.614232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07532563--1.07537121) × R
    4.55799999998785e-05 × 6371000     		dl = 290.390179999226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07532563--1.07537121) × R
    4.55799999998785e-05 × 6371000     		dr = 290.390179999226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98155596--0.98146008) × cos(-1.07532563) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.475445797084055 × 6371000     		do = 290.426768808721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98155596--0.98146008) × cos(-1.07537121) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.47540569781234 × 6371000     		du = 290.402274109246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07532563)-sin(-1.07537121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475445797084055-0.47540569781234)×R²
    abs(-0.98146008--0.98155596)×4.00992717154991e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.00992717154991e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.00992717154991e-05×40589641000000     		ar = 84333.5251755184m²