Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22532 / 22532
↖ ↑ ↗
← S 55.801281°
E 67.543946°		 ← 686.60 m → S 55.801281°
E 67.554931°		 →
↑
686.60 m
↓
↑
686.60 m
↓
S 55.807456°
E 67.543946°		 ← 686.50 m →
471 387 m²		 S 55.807456°
E 67.554931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687637329101562 y=0.687637329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687637329101562 × 215)
    floor (0.687637329101562 × 32768)
    floor (22532.5)     		tx = 22532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687637329101562 × 215)
    floor (0.687637329101562 × 32768)
    floor (22532.5)     		ty = 22532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22532 / 22532 ti = "15/22532/22532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22532/22532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22532 ÷ 215
    22532 ÷ 32768     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22532 ÷ 215
    22532 ÷ 32768     		y = 0.6876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17886423545642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17886423545642))-π/2
    2×atan(0.307627933161293)-π/2
    2×0.298440123518139-π/2
    0.596880247036277-1.57079632675     		φ = -0.97391608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97391608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.801281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22532 KachelY 22532 1.17886424 -0.97391608 67.543946 -55.801281
    Oben rechts KachelX + 1 22533 KachelY 22532 1.17905598 -0.97391608 67.554931 -55.801281
    Unten links KachelX 22532 KachelY + 1 22533 1.17886424 -0.97402385 67.543946 -55.807456
    Unten rechts KachelX + 1 22533 KachelY + 1 22533 1.17905598 -0.97402385 67.554931 -55.807456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97391608--0.97402385) × R
    0.000107770000000063 × 6371000     		dl = 686.602670000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97391608--0.97402385) × R
    0.000107770000000063 × 6371000     		dr = 686.602670000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17905598) × cos(-0.97391608) × R
    0.000191739999999996 × 0.562064886351038 × 6371000     		do = 686.604717059293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17905598) × cos(-0.97402385) × R
    0.000191739999999996 × 0.561975747259412 × 6371000     		du = 686.495826925305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97391608)-sin(-0.97402385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562064886351038-0.561975747259412)×R²
    abs(1.17905598-1.17886424)×8.91390916253343e-05×R²
    0.000191739999999996×8.91390916253343e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.91390916253343e-05×40589641000000     		ar = 471387.250295309m²