Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22532 / 38916
↖ ↑ ↗
← S 31.970804°
W 56.228027°		 ← 518.14 m → S 31.970804°
W 56.222534°		 →
↑
518.15 m
↓
↑
518.15 m
↓
S 31.975464°
W 56.228027°		 ← 518.12 m →
268 470 m²		 S 31.975464°
W 56.222534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343818664550781 y=0.593818664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343818664550781 × 216)
    floor (0.343818664550781 × 65536)
    floor (22532.5)     		tx = 22532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593818664550781 × 216)
    floor (0.593818664550781 × 65536)
    floor (38916.5)     		ty = 38916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22532 / 38916 ti = "16/22532/38916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22532/38916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22532 ÷ 216
    22532 ÷ 65536     		x = 0.34381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38916 ÷ 216
    38916 ÷ 65536     		y = 0.59381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98136421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.58943211772821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98136421} λ = -0.98136421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58943211772821))-π/2
    2×atan(0.554642166771778)-π/2
    2×0.506400266856793-π/2
    1.01280053371359-1.57079632675     		φ = -0.55799579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98136421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55799579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.970804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22532 KachelY 38916 -0.98136421 -0.55799579 -56.228027 -31.970804
    Oben rechts KachelX + 1 22533 KachelY 38916 -0.98126834 -0.55799579 -56.222534 -31.970804
    Unten links KachelX 22532 KachelY + 1 38917 -0.98136421 -0.55807712 -56.228027 -31.975464
    Unten rechts KachelX + 1 22533 KachelY + 1 38917 -0.98126834 -0.55807712 -56.222534 -31.975464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55799579--0.55807712) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dl = 518.15342999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55799579--0.55807712) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dr = 518.15342999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98136421--0.98126834) × cos(-0.55799579) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848318017339372 × 6371000     		do = 518.142270061525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98136421--0.98126834) × cos(-0.55807712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848274951351604 × 6371000     		du = 518.115965882893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55799579)-sin(-0.55807712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848318017339372-0.848274951351604)×R²
    abs(-0.98126834--0.98136421)×4.30659877681538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30659877681538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30659877681538e-05×40589641000000     		ar = 268470.379808528m²