Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22534 / 6150
↖ ↑ ↗
← N 74.001386°
E 67.565918°		 ← 336.70 m → N 74.001386°
E 67.576904°		 →
↑
336.77 m
↓
↑
336.77 m
↓
N 73.998357°
E 67.565918°		 ← 336.76 m →
113 402 m²		 N 73.998357°
E 67.576904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687698364257812 y=0.187698364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687698364257812 × 215)
    floor (0.687698364257812 × 32768)
    floor (22534.5)     		tx = 22534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187698364257812 × 215)
    floor (0.187698364257812 × 32768)
    floor (6150.5)     		ty = 6150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22534 / 6150 ti = "15/22534/6150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22534/6150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22534 ÷ 215
    22534 ÷ 32768     		x = 0.68768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6150 ÷ 215
    6150 ÷ 32768     		y = 0.18768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68768310546875 × 2 - 1) × π
    0.3753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17924773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18768310546875 × 2 - 1) × π
    0.6246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96234492284662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17924773} λ = 1.17924773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96234492284662))-π/2
    2×atan(7.11599397305675)-π/2
    2×1.43118207680137-π/2
    2.86236415360275-1.57079632675     		φ = 1.29156783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17924773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.565918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29156783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.001386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22534 KachelY 6150 1.17924773 1.29156783 67.565918 74.001386
    Oben rechts KachelX + 1 22535 KachelY 6150 1.17943948 1.29156783 67.576904 74.001386
    Unten links KachelX 22534 KachelY + 1 6151 1.17924773 1.29151497 67.565918 73.998357
    Unten rechts KachelX + 1 22535 KachelY + 1 6151 1.17943948 1.29151497 67.576904 73.998357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29156783-1.29151497) × R
    5.28600000000434e-05 × 6371000     		dl = 336.771060000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29156783-1.29151497) × R
    5.28600000000434e-05 × 6371000     		dr = 336.771060000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17924773-1.17943948) × cos(1.29156783) × R
    0.000191750000000157 × 0.275614109040917 × 6371000     		do = 336.70101345844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17924773-1.17943948) × cos(1.29151497) × R
    0.000191750000000157 × 0.275664921301426 × 6371000     		du = 336.763087710259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29156783)-sin(1.29151497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275614109040917-0.275664921301426)×R²
    abs(1.17943948-1.17924773)×5.08122605096806e-05×R²
    0.000191750000000157×5.08122605096806e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.08122605096806e-05×40589641000000     		ar = 113401.609637844m²