Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22536 / 6151
↖ ↑ ↗
← N 73.998357°
E 67.587891°		 ← 336.75 m → N 73.998357°
E 67.598877°		 →
↑
336.77 m
↓
↑
336.77 m
↓
N 73.995328°
E 67.587891°		 ← 336.81 m →
113 417 m²		 N 73.995328°
E 67.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687759399414062 y=0.187728881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687759399414062 × 215)
    floor (0.687759399414062 × 32768)
    floor (22536.5)     		tx = 22536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187728881835938 × 215)
    floor (0.187728881835938 × 32768)
    floor (6151.5)     		ty = 6151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22536 / 6151 ti = "15/22536/6151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22536/6151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22536 ÷ 215
    22536 ÷ 32768     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6151 ÷ 215
    6151 ÷ 32768     		y = 0.187713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187713623046875 × 2 - 1) × π
    0.62457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96215317524814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96215317524814))-π/2
    2×atan(7.11462962911064)-π/2
    2×1.43115565019392-π/2
    2.86231130038784-1.57079632675     		φ = 1.29151497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29151497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.998357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22536 KachelY 6151 1.17963123 1.29151497 67.587891 73.998357
    Oben rechts KachelX + 1 22537 KachelY 6151 1.17982297 1.29151497 67.598877 73.998357
    Unten links KachelX 22536 KachelY + 1 6152 1.17963123 1.29146211 67.587891 73.995328
    Unten rechts KachelX + 1 22537 KachelY + 1 6152 1.17982297 1.29146211 67.598877 73.995328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29151497-1.29146211) × R
    5.28599999998214e-05 × 6371000     		dl = 336.771059998862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29151497-1.29146211) × R
    5.28599999998214e-05 × 6371000     		dr = 336.771059998862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.17982297) × cos(1.29151497) × R
    0.000191739999999996 × 0.275664921301426 × 6371000     		do = 336.74552509784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.17982297) × cos(1.29146211) × R
    0.000191739999999996 × 0.275715732791679 × 6371000     		du = 336.807595171483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29151497)-sin(1.29146211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275664921301426-0.275715732791679)×R²
    abs(1.17982297-1.17963123)×5.08114902522117e-05×R²
    0.000191739999999996×5.08114902522117e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.08114902522117e-05×40589641000000     		ar = 113416.599166121m²