Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22536 / 6152
↖ ↑ ↗
← N 73.995328°
E 67.587891°		 ← 336.81 m → N 73.995328°
E 67.598877°		 →
↑
336.83 m
↓
↑
336.83 m
↓
N 73.992299°
E 67.587891°		 ← 336.87 m →
113 459 m²		 N 73.992299°
E 67.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687759399414062 y=0.187759399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687759399414062 × 215)
    floor (0.687759399414062 × 32768)
    floor (22536.5)     		tx = 22536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187759399414062 × 215)
    floor (0.187759399414062 × 32768)
    floor (6152.5)     		ty = 6152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22536 / 6152 ti = "15/22536/6152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22536/6152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22536 ÷ 215
    22536 ÷ 32768     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6152 ÷ 215
    6152 ÷ 32768     		y = 0.187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187744140625 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96196142764966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96196142764966))-π/2
    2×atan(7.11326554674912)-π/2
    2×1.43112921871512-π/2
    2.86225843743023-1.57079632675     		φ = 1.29146211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29146211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.995328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22536 KachelY 6152 1.17963123 1.29146211 67.587891 73.995328
    Oben rechts KachelX + 1 22537 KachelY 6152 1.17982297 1.29146211 67.598877 73.995328
    Unten links KachelX 22536 KachelY + 1 6153 1.17963123 1.29140924 67.587891 73.992299
    Unten rechts KachelX + 1 22537 KachelY + 1 6153 1.17982297 1.29140924 67.598877 73.992299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29146211-1.29140924) × R
    5.28700000002047e-05 × 6371000     		dl = 336.834770001304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29146211-1.29140924) × R
    5.28700000002047e-05 × 6371000     		dr = 336.834770001304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.17982297) × cos(1.29146211) × R
    0.000191739999999996 × 0.275715732791679 × 6371000     		do = 336.807595171483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.17982297) × cos(1.29140924) × R
    0.000191739999999996 × 0.275766553123778 × 6371000     		du = 336.869676046111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29146211)-sin(1.29140924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275715732791679-0.275766553123778)×R²
    abs(1.17982297-1.17963123)×5.08203320996881e-05×R²
    0.000191739999999996×5.08203320996881e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.08203320996881e-05×40589641000000     		ar = 113458.964378921m²