Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22540 / 6156
↖ ↑ ↗
← N 73.983207°
E 67.631836°		 ← 337.06 m → N 73.983207°
E 67.642822°		 →
↑
337.09 m
↓
↑
337.09 m
↓
N 73.980176°
E 67.631836°		 ← 337.12 m →
113 629 m²		 N 73.980176°
E 67.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687881469726562 y=0.187881469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687881469726562 × 215)
    floor (0.687881469726562 × 32768)
    floor (22540.5)     		tx = 22540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187881469726562 × 215)
    floor (0.187881469726562 × 32768)
    floor (6156.5)     		ty = 6156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22540 / 6156 ti = "15/22540/6156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22540/6156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22540 ÷ 215
    22540 ÷ 32768     		x = 0.6878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6156 ÷ 215
    6156 ÷ 32768     		y = 0.1878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6878662109375 × 2 - 1) × π
    0.375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18039822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1878662109375 × 2 - 1) × π
    0.624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96119443725574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18039822} λ = 1.18039822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96119443725574))-π/2
    2×atan(7.10781183214606)-π/2
    2×1.4310234440699-π/2
    2.86204688813981-1.57079632675     		φ = 1.29125056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18039822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29125056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.983207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22540 KachelY 6156 1.18039822 1.29125056 67.631836 73.983207
    Oben rechts KachelX + 1 22541 KachelY 6156 1.18058996 1.29125056 67.642822 73.983207
    Unten links KachelX 22540 KachelY + 1 6157 1.18039822 1.29119765 67.631836 73.980176
    Unten rechts KachelX + 1 22541 KachelY + 1 6157 1.18058996 1.29119765 67.642822 73.980176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29125056-1.29119765) × R
    5.29099999999616e-05 × 6371000     		dl = 337.089609999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29125056-1.29119765) × R
    5.29099999999616e-05 × 6371000     		dr = 337.089609999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18039822-1.18058996) × cos(1.29125056) × R
    0.000191739999999996 × 0.275919076777173 × 6371000     		do = 337.055995210369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18039822-1.18058996) × cos(1.29119765) × R
    0.000191739999999996 × 0.275969932470719 × 6371000     		du = 337.118119281674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29125056)-sin(1.29119765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275919076777173-0.275969932470719)×R²
    abs(1.18058996-1.18039822)×5.08556935455151e-05×R²
    0.000191739999999996×5.08556935455151e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.08556935455151e-05×40589641000000     		ar = 113628.544689157m²