Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22544 / 6192
↖ ↑ ↗
← N 73.873716°
E 67.675781°		 ← 339.30 m → N 73.873716°
E 67.686767°		 →
↑
339.32 m
↓
↑
339.32 m
↓
N 73.870665°
E 67.675781°		 ← 339.36 m →
115 141 m²		 N 73.870665°
E 67.686767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688003540039062 y=0.188980102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688003540039062 × 215)
    floor (0.688003540039062 × 32768)
    floor (22544.5)     		tx = 22544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188980102539062 × 215)
    floor (0.188980102539062 × 32768)
    floor (6192.5)     		ty = 6192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22544 / 6192 ti = "15/22544/6192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22544/6192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22544 ÷ 215
    22544 ÷ 32768     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6192 ÷ 215
    6192 ÷ 32768     		y = 0.18896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18896484375 × 2 - 1) × π
    0.6220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95429152371045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95429152371045))-π/2
    2×atan(7.05891617697002)-π/2
    2×1.43006795558361-π/2
    2.86013591116722-1.57079632675     		φ = 1.28933958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28933958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.873716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22544 KachelY 6192 1.18116521 1.28933958 67.675781 73.873716
    Oben rechts KachelX + 1 22545 KachelY 6192 1.18135695 1.28933958 67.686767 73.873716
    Unten links KachelX 22544 KachelY + 1 6193 1.18116521 1.28928632 67.675781 73.870665
    Unten rechts KachelX + 1 22545 KachelY + 1 6193 1.18135695 1.28928632 67.686767 73.870665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28933958-1.28928632) × R
    5.32600000000549e-05 × 6371000     		dl = 339.31946000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28933958-1.28928632) × R
    5.32600000000549e-05 × 6371000     		dr = 339.31946000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18135695) × cos(1.28933958) × R
    0.000191739999999996 × 0.277755369269767 × 6371000     		do = 339.299165203607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18135695) × cos(1.28928632) × R
    0.000191739999999996 × 0.277806533192717 × 6371000     		du = 339.361665800414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28933958)-sin(1.28928632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277755369269767-0.277806533192717)×R²
    abs(1.18135695-1.18116521)×5.11639229509031e-05×R²
    0.000191739999999996×5.11639229509031e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.11639229509031e-05×40589641000000     		ar = 115141.413377112m²