Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22552 / 6168
↖ ↑ ↗
← N 73.946791°
E 67.763672°		 ← 337.82 m → N 73.946791°
E 67.774658°		 →
↑
337.85 m
↓
↑
337.85 m
↓
N 73.943753°
E 67.763672°		 ← 337.88 m →
114 144 m²		 N 73.943753°
E 67.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688247680664062 y=0.188247680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688247680664062 × 215)
    floor (0.688247680664062 × 32768)
    floor (22552.5)     		tx = 22552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188247680664062 × 215)
    floor (0.188247680664062 × 32768)
    floor (6168.5)     		ty = 6168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22552 / 6168 ti = "15/22552/6168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22552/6168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22552 ÷ 215
    22552 ÷ 32768     		x = 0.688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6168 ÷ 215
    6168 ÷ 32768     		y = 0.188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688232421875 × 2 - 1) × π
    0.37646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18269919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188232421875 × 2 - 1) × π
    0.62353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95889346607397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18269919} λ = 1.18269919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95889346607397))-π/2
    2×atan(7.09147576357398)-π/2
    2×1.43070565187774-π/2
    2.86141130375548-1.57079632675     		φ = 1.29061498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18269919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29061498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.946791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22552 KachelY 6168 1.18269919 1.29061498 67.763672 73.946791
    Oben rechts KachelX + 1 22553 KachelY 6168 1.18289094 1.29061498 67.774658 73.946791
    Unten links KachelX 22552 KachelY + 1 6169 1.18269919 1.29056195 67.763672 73.943753
    Unten rechts KachelX + 1 22553 KachelY + 1 6169 1.18289094 1.29056195 67.774658 73.943753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29061498-1.29056195) × R
    5.30299999998984e-05 × 6371000     		dl = 337.854129999353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29061498-1.29056195) × R
    5.30299999998984e-05 × 6371000     		dr = 337.854129999353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18269919-1.18289094) × cos(1.29061498) × R
    0.000191750000000157 × 0.276529928342407 × 6371000     		do = 337.819814263049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18269919-1.18289094) × cos(1.29056195) × R
    0.000191750000000157 × 0.27658089006495 × 6371000     		du = 337.882071103555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29061498)-sin(1.29056195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276529928342407-0.27658089006495)×R²
    abs(1.18289094-1.18269919)×5.09617225428194e-05×R²
    0.000191750000000157×5.09617225428194e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.09617225428194e-05×40589641000000     		ar = 114144.336335878m²