Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22560 / 47136
↖ ↑ ↗
← S 61.689872°
W 56.074219°		 ← 289.66 m → S 61.689872°
W 56.068726°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
S 61.692477°
W 56.074219°		 ← 289.64 m →
83 909 m²		 S 61.692477°
W 56.068726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344245910644531 y=0.719245910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344245910644531 × 216)
    floor (0.344245910644531 × 65536)
    floor (22560.5)     		tx = 22560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719245910644531 × 216)
    floor (0.719245910644531 × 65536)
    floor (47136.5)     		ty = 47136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22560 / 47136 ti = "16/22560/47136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22560/47136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22560 ÷ 216
    22560 ÷ 65536     		x = 0.34423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47136 ÷ 216
    47136 ÷ 65536     		y = 0.71923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97867974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37751474748193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97867974} λ = -0.97867974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37751474748193))-π/2
    2×atan(0.252204566871227)-π/2
    2×0.247052470890511-π/2
    0.494104941781022-1.57079632675     		φ = -1.07669138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97867974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07669138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.689872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22560 KachelY 47136 -0.97867974 -1.07669138 -56.074219 -61.689872
    Oben rechts KachelX + 1 22561 KachelY 47136 -0.97858387 -1.07669138 -56.068726 -61.689872
    Unten links KachelX 22560 KachelY + 1 47137 -0.97867974 -1.07673685 -56.074219 -61.692477
    Unten rechts KachelX + 1 22561 KachelY + 1 47137 -0.97858387 -1.07673685 -56.068726 -61.692477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07669138--1.07673685) × R
    4.54700000001029e-05 × 6371000     		dl = 289.689370000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07669138--1.07673685) × R
    4.54700000001029e-05 × 6371000     		dr = 289.689370000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97867974--0.97858387) × cos(-1.07669138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.474243842283262 × 6371000     		do = 289.662338864419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97867974--0.97858387) × cos(-1.07673685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.474203810298943 × 6371000     		du = 289.637887817988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07669138)-sin(-1.07673685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474243842283262-0.474203810298943)×R²
    abs(-0.97858387--0.97867974)×4.0031984318234e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0031984318234e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0031984318234e-05×40589641000000     		ar = 83908.5588688157m²