Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22560 / 6112
↖ ↑ ↗
← N 74.116047°
E 67.851563°		 ← 334.35 m → N 74.116047°
E 67.862549°		 →
↑
334.41 m
↓
↑
334.41 m
↓
N 74.113040°
E 67.851563°		 ← 334.41 m →
111 822 m²		 N 74.113040°
E 67.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688491821289062 y=0.186538696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688491821289062 × 215)
    floor (0.688491821289062 × 32768)
    floor (22560.5)     		tx = 22560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.186538696289062 × 215)
    floor (0.186538696289062 × 32768)
    floor (6112.5)     		ty = 6112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22560 / 6112 ti = "15/22560/6112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22560/6112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22560 ÷ 215
    22560 ÷ 32768     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6112 ÷ 215
    6112 ÷ 32768     		y = 0.1865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1865234375 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96963133158887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96963133158887))-π/2
    2×atan(7.16803337368528)-π/2
    2×1.43218268634546-π/2
    2.86436537269092-1.57079632675     		φ = 1.29356905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29356905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.116047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22560 KachelY 6112 1.18423317 1.29356905 67.851563 74.116047
    Oben rechts KachelX + 1 22561 KachelY 6112 1.18442492 1.29356905 67.862549 74.116047
    Unten links KachelX 22560 KachelY + 1 6113 1.18423317 1.29351656 67.851563 74.113040
    Unten rechts KachelX + 1 22561 KachelY + 1 6113 1.18442492 1.29351656 67.862549 74.113040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29356905-1.29351656) × R
    5.24900000000716e-05 × 6371000     		dl = 334.413790000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29356905-1.29351656) × R
    5.24900000000716e-05 × 6371000     		dr = 334.413790000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18442492) × cos(1.29356905) × R
    0.000191750000000157 × 0.273689848953736 × 6371000     		do = 334.350261808729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18442492) × cos(1.29351656) × R
    0.000191750000000157 × 0.273740334403538 × 6371000     		du = 334.411936815761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29356905)-sin(1.29351656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.273689848953736-0.273740334403538)×R²
    abs(1.18442492-1.18423317)×5.04854498014629e-05×R²
    0.000191750000000157×5.04854498014629e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.04854498014629e-05×40589641000000     		ar = 111821.650751548m²