Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22560 / 6177
↖ ↑ ↗
← N 73.919426°
E 67.851563°		 ← 338.38 m → N 73.919426°
E 67.862549°		 →
↑
338.43 m
↓
↑
338.43 m
↓
N 73.916383°
E 67.851563°		 ← 338.44 m →
114 528 m²		 N 73.916383°
E 67.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688491821289062 y=0.188522338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688491821289062 × 215)
    floor (0.688491821289062 × 32768)
    floor (22560.5)     		tx = 22560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188522338867188 × 215)
    floor (0.188522338867188 × 32768)
    floor (6177.5)     		ty = 6177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22560 / 6177 ti = "15/22560/6177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22560/6177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22560 ÷ 215
    22560 ÷ 32768     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6177 ÷ 215
    6177 ÷ 32768     		y = 0.188507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188507080078125 × 2 - 1) × π
    0.62298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95716773768765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95716773768765))-π/2
    2×atan(7.07924835617446)-π/2
    2×1.43046684614373-π/2
    2.86093369228745-1.57079632675     		φ = 1.29013737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29013737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.919426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22560 KachelY 6177 1.18423317 1.29013737 67.851563 73.919426
    Oben rechts KachelX + 1 22561 KachelY 6177 1.18442492 1.29013737 67.862549 73.919426
    Unten links KachelX 22560 KachelY + 1 6178 1.18423317 1.29008425 67.851563 73.916383
    Unten rechts KachelX + 1 22561 KachelY + 1 6178 1.18442492 1.29008425 67.862549 73.916383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29013737-1.29008425) × R
    5.31200000000176e-05 × 6371000     		dl = 338.427520000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29013737-1.29008425) × R
    5.31200000000176e-05 × 6371000     		dr = 338.427520000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18442492) × cos(1.29013737) × R
    0.000191750000000157 × 0.276988882529496 × 6371000     		do = 338.380490711948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18442492) × cos(1.29008425) × R
    0.000191750000000157 × 0.277039923718983 × 6371000     		du = 338.442844632393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29013737)-sin(1.29008425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276988882529496-0.277039923718983)×R²
    abs(1.18442492-1.18423317)×5.10411894876772e-05×R²
    0.000191750000000157×5.10411894876772e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.10411894876772e-05×40589641000000     		ar = 114527.821456297m²