Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22560 / 6240
↖ ↑ ↗
← N 73.726594°
E 67.851563°		 ← 342.33 m → N 73.726594°
E 67.862549°		 →
↑
342.31 m
↓
↑
342.31 m
↓
N 73.723516°
E 67.851563°		 ← 342.39 m →
117 195 m²		 N 73.723516°
E 67.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688491821289062 y=0.190444946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688491821289062 × 215)
    floor (0.688491821289062 × 32768)
    floor (22560.5)     		tx = 22560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190444946289062 × 215)
    floor (0.190444946289062 × 32768)
    floor (6240.5)     		ty = 6240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22560 / 6240 ti = "15/22560/6240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22560/6240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22560 ÷ 215
    22560 ÷ 32768     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6240 ÷ 215
    6240 ÷ 32768     		y = 0.1904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1904296875 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9450876389834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9450876389834))-π/2
    2×atan(6.99424479667741)-π/2
    2×1.42878407530738-π/2
    2.85756815061476-1.57079632675     		φ = 1.28677182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28677182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.726594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22560 KachelY 6240 1.18423317 1.28677182 67.851563 73.726594
    Oben rechts KachelX + 1 22561 KachelY 6240 1.18442492 1.28677182 67.862549 73.726594
    Unten links KachelX 22560 KachelY + 1 6241 1.18423317 1.28671809 67.851563 73.723516
    Unten rechts KachelX + 1 22561 KachelY + 1 6241 1.18442492 1.28671809 67.862549 73.723516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28677182-1.28671809) × R
    5.37300000000851e-05 × 6371000     		dl = 342.313830000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28677182-1.28671809) × R
    5.37300000000851e-05 × 6371000     		dr = 342.313830000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18442492) × cos(1.28677182) × R
    0.000191750000000157 × 0.280221174249523 × 6371000     		do = 342.329185144586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18442492) × cos(1.28671809) × R
    0.000191750000000157 × 0.280272751177448 × 6371000     		du = 342.392193544135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28677182)-sin(1.28671809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280221174249523-0.280272751177448)×R²
    abs(1.18442492-1.18423317)×5.15769279257339e-05×R²
    0.000191750000000157×5.15769279257339e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.15769279257339e-05×40589641000000     		ar = 117194.798838988m²