Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22564 / 6180
↖ ↑ ↗
← N 73.910294°
E 67.895508°		 ← 338.57 m → N 73.910294°
E 67.906494°		 →
↑
338.62 m
↓
↑
338.62 m
↓
N 73.907249°
E 67.895508°		 ← 338.63 m →
114 656 m²		 N 73.907249°
E 67.906494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688613891601562 y=0.188613891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688613891601562 × 215)
    floor (0.688613891601562 × 32768)
    floor (22564.5)     		tx = 22564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188613891601562 × 215)
    floor (0.188613891601562 × 32768)
    floor (6180.5)     		ty = 6180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22564 / 6180 ti = "15/22564/6180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22564/6180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22564 ÷ 215
    22564 ÷ 32768     		x = 0.6885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6180 ÷ 215
    6180 ÷ 32768     		y = 0.1885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6885986328125 × 2 - 1) × π
    0.377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18500016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1885986328125 × 2 - 1) × π
    0.622802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95659249489221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18500016} λ = 1.18500016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95659249489221))-π/2
    2×atan(7.07517724061264)-π/2
    2×1.43038715619158-π/2
    2.86077431238315-1.57079632675     		φ = 1.28997799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18500016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28997799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.910294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22564 KachelY 6180 1.18500016 1.28997799 67.895508 73.910294
    Oben rechts KachelX + 1 22565 KachelY 6180 1.18519191 1.28997799 67.906494 73.910294
    Unten links KachelX 22564 KachelY + 1 6181 1.18500016 1.28992484 67.895508 73.907249
    Unten rechts KachelX + 1 22565 KachelY + 1 6181 1.18519191 1.28992484 67.906494 73.907249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28997799-1.28992484) × R
    5.31499999998353e-05 × 6371000     		dl = 338.618649998951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28997799-1.28992484) × R
    5.31499999998353e-05 × 6371000     		dr = 338.618649998951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18500016-1.18519191) × cos(1.28997799) × R
    0.000191749999999935 × 0.277142022969195 × 6371000     		do = 338.567573083455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18500016-1.18519191) × cos(1.28992484) × R
    0.000191749999999935 × 0.277193090637184 × 6371000     		du = 338.629959351077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28997799)-sin(1.28992484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277142022969195-0.277193090637184)×R²
    abs(1.18519191-1.18500016)×5.10676679888467e-05×R²
    0.000191749999999935×5.10676679888467e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.10676679888467e-05×40589641000000     		ar = 114655.857134344m²