Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22592 / 22592
↖ ↑ ↗
← S 56.170023°
E 68.203125°		 ← 680.12 m → S 56.170023°
E 68.214111°		 →
↑
680.10 m
↓
↑
680.10 m
↓
S 56.176139°
E 68.203125°		 ← 680.02 m →
462 518 m²		 S 56.176139°
E 68.214111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689468383789062 y=0.689468383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689468383789062 × 215)
    floor (0.689468383789062 × 32768)
    floor (22592.5)     		tx = 22592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689468383789062 × 215)
    floor (0.689468383789062 × 32768)
    floor (22592.5)     		ty = 22592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22592 / 22592 ti = "15/22592/22592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22592/22592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22592 ÷ 215
    22592 ÷ 32768     		x = 0.689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22592 ÷ 215
    22592 ÷ 32768     		y = 0.689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689453125 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19036909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689453125 × 2 - 1) × π
    -0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19036909} λ = 1.19036909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19036909136523))-π/2
    2×atan(0.304108999344261)-π/2
    2×0.295222242420394-π/2
    0.590444484840787-1.57079632675     		φ = -0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19036909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22592 KachelY 22592 1.19036909 -0.98035184 68.203125 -56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 22593 KachelY 22592 1.19056084 -0.98035184 68.214111 -56.170023
    Unten links KachelX 22592 KachelY + 1 22593 1.19036909 -0.98045859 68.203125 -56.176139
    Unten rechts KachelX + 1 22593 KachelY + 1 22593 1.19056084 -0.98045859 68.214111 -56.176139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98035184--0.98045859) × R
    0.000106750000000044 × 6371000     		dl = 680.104250000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98035184--0.98045859) × R
    0.000106750000000044 × 6371000     		dr = 680.104250000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19036909-1.19056084) × cos(-0.98035184) × R
    0.000191750000000157 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 680.12359848353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19036909-1.19056084) × cos(-0.98045859) × R
    0.000191750000000157 × 0.556641630418179 × 6371000     		du = 680.015263903399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98035184)-sin(-0.98045859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.556641630418179)×R²
    abs(1.19056084-1.19036909)×8.86796819364877e-05×R²
    0.000191750000000157×8.86796819364877e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.86796819364877e-05×40589641000000     		ar = 462518.11088847m²