Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 226 / 98
↖ ↑ ↗
← N 38.822591°
E137.812500°		 ← 121.825 km → N 38.822591°
E139.218750°		 →
↑
122.759 km
↓
↑
122.759 km
↓
N 37.718590°
E137.812500°		 ← 123.691 km →
15 070.1 km²		 N 37.718590°
E139.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.884765625 y=0.384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.884765625 × 28)
    floor (0.884765625 × 256)
    floor (226.5)     		tx = 226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.384765625 × 28)
    floor (0.384765625 × 256)
    floor (98.5)     		ty = 98
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 226 / 98 ti = "8/226/98"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/226/98.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 226 ÷ 28
    226 ÷ 256     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98 ÷ 28
    98 ÷ 256     		y = 0.3828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3828125 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736310778164063))-π/2
    2×atan(2.08821738911978)-π/2
    2×1.12418918173392-π/2
    2.24837836346783-1.57079632675     		φ = 0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 226 KachelY 98 2.40528188 0.67758204 137.812500 38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 227 KachelY 98 2.42982557 0.67758204 139.218750 38.822591
    Unten links KachelX 226 KachelY + 1 99 2.40528188 0.65831359 137.812500 37.718590
    Unten rechts KachelX + 1 227 KachelY + 1 99 2.42982557 0.65831359 139.218750 37.718590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67758204-0.65831359) × R
    0.01926845 × 6371000     		dl = 122759.29495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67758204-0.65831359) × R
    0.01926845 × 6371000     		dr = 122759.29495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.42982557) × cos(0.67758204) × R
    0.0245436900000002 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 121824.758912364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.42982557) × cos(0.65831359) × R
    0.0245436900000002 × 0.791025074037336 × 6371000     		du = 123690.889324375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67758204)-sin(0.65831359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.791025074037336)×R²
    abs(2.42982557-2.40528188)×0.0119342334377843×R²
    0.0245436900000002×0.0119342334377843×6371000²
    0.0245436900000002×0.0119342334377843×40589641000000     		ar = 15070130202.4976m²