Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22656 / 6271
↖ ↑ ↗
← N 73.630885°
E 68.906250°		 ← 344.29 m → N 73.630885°
E 68.917237°		 →
↑
344.29 m
↓
↑
344.29 m
↓
N 73.627789°
E 68.906250°		 ← 344.35 m →
118 545 m²		 N 73.627789°
E 68.917237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691421508789062 y=0.191390991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691421508789062 × 215)
    floor (0.691421508789062 × 32768)
    floor (22656.5)     		tx = 22656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191390991210938 × 215)
    floor (0.191390991210938 × 32768)
    floor (6271.5)     		ty = 6271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22656 / 6271 ti = "15/22656/6271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22656/6271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22656 ÷ 215
    22656 ÷ 32768     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6271 ÷ 215
    6271 ÷ 32768     		y = 0.191375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191375732421875 × 2 - 1) × π
    0.61724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93914346343051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93914346343051))-π/2
    2×atan(6.95279309788515)-π/2
    2×1.42794885314528-π/2
    2.85589770629055-1.57079632675     		φ = 1.28510138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28510138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.630885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22656 KachelY 6271 1.20264094 1.28510138 68.906250 73.630885
    Oben rechts KachelX + 1 22657 KachelY 6271 1.20283269 1.28510138 68.917237 73.630885
    Unten links KachelX 22656 KachelY + 1 6272 1.20264094 1.28504734 68.906250 73.627789
    Unten rechts KachelX + 1 22657 KachelY + 1 6272 1.20283269 1.28504734 68.917237 73.627789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28510138-1.28504734) × R
    5.40399999999774e-05 × 6371000     		dl = 344.288839999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28510138-1.28504734) × R
    5.40399999999774e-05 × 6371000     		dr = 344.288839999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20283269) × cos(1.28510138) × R
    0.000191749999999935 × 0.281824297138672 × 6371000     		do = 344.287622988148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20283269) × cos(1.28504734) × R
    0.000191749999999935 × 0.281876146271479 × 6371000     		du = 344.350963923863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28510138)-sin(1.28504734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281824297138672-0.281876146271479)×R²
    abs(1.20283269-1.20264094)×5.18491328065362e-05×R²
    0.000191749999999935×5.18491328065362e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.18491328065362e-05×40589641000000     		ar = 118545.290161788m²