Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22656 / 6272
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E 68.906250°		 ← 344.35 m → N 73.627789°
E 68.917237°		 →
↑
344.42 m
↓
↑
344.42 m
↓
N 73.624692°
E 68.906250°		 ← 344.41 m →
118 611 m²		 N 73.624692°
E 68.917237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691421508789062 y=0.191421508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691421508789062 × 215)
    floor (0.691421508789062 × 32768)
    floor (22656.5)     		tx = 22656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191421508789062 × 215)
    floor (0.191421508789062 × 32768)
    floor (6272.5)     		ty = 6272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22656 / 6272 ti = "15/22656/6272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22656/6272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22656 ÷ 215
    22656 ÷ 32768     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6272 ÷ 215
    6272 ÷ 32768     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22656 KachelY 6272 1.20264094 1.28504734 68.906250 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 22657 KachelY 6272 1.20283269 1.28504734 68.917237 73.627789
    Unten links KachelX 22656 KachelY + 1 6273 1.20264094 1.28499328 68.906250 73.624692
    Unten rechts KachelX + 1 22657 KachelY + 1 6273 1.20283269 1.28499328 68.917237 73.624692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.28499328) × R
    5.40600000000779e-05 × 6371000     		dl = 344.416260000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.28499328) × R
    5.40600000000779e-05 × 6371000     		dr = 344.416260000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20283269) × cos(1.28504734) × R
    0.000191749999999935 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 344.350963923863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20283269) × cos(1.28499328) × R
    0.000191749999999935 × 0.281928013769828 × 6371000     		du = 344.414327295645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.28499328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.281928013769828)×R²
    abs(1.20283269-1.20264094)×5.18674983488454e-05×R²
    0.000191749999999935×5.18674983488454e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.18674983488454e-05×40589641000000     		ar = 118610.982839032m²