Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22664 / 6280
↖ ↑ ↗
← N 73.602996°
E 68.994141°		 ← 344.86 m → N 73.602996°
E 69.005127°		 →
↑
344.86 m
↓
↑
344.86 m
↓
N 73.599895°
E 68.994141°		 ← 344.92 m →
118 939 m²		 N 73.599895°
E 69.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691665649414062 y=0.191665649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691665649414062 × 215)
    floor (0.691665649414062 × 32768)
    floor (22664.5)     		tx = 22664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191665649414062 × 215)
    floor (0.191665649414062 × 32768)
    floor (6280.5)     		ty = 6280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22664 / 6280 ti = "15/22664/6280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22664/6280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22664 ÷ 215
    22664 ÷ 32768     		x = 0.691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6280 ÷ 215
    6280 ÷ 32768     		y = 0.191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691650390625 × 2 - 1) × π
    0.38330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20417492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191650390625 × 2 - 1) × π
    0.61669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93741773504419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20417492} λ = 1.20417492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93741773504419))-π/2
    2×atan(6.94080481270916)-π/2
    2×1.42770547562575-π/2
    2.85541095125151-1.57079632675     		φ = 1.28461462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20417492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28461462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.602996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22664 KachelY 6280 1.20417492 1.28461462 68.994141 73.602996
    Oben rechts KachelX + 1 22665 KachelY 6280 1.20436667 1.28461462 69.005127 73.602996
    Unten links KachelX 22664 KachelY + 1 6281 1.20417492 1.28456049 68.994141 73.599895
    Unten rechts KachelX + 1 22665 KachelY + 1 6281 1.20436667 1.28456049 69.005127 73.599895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28461462-1.28456049) × R
    5.41299999998746e-05 × 6371000     		dl = 344.862229999201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28461462-1.28456049) × R
    5.41299999998746e-05 × 6371000     		dr = 344.862229999201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20417492-1.20436667) × cos(1.28461462) × R
    0.000191749999999935 × 0.282291293418646 × 6371000     		do = 344.858123973368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20417492-1.20436667) × cos(1.28456049) × R
    0.000191749999999935 × 0.28234322146959 × 6371000     		du = 344.921561318578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28461462)-sin(1.28456049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282291293418646-0.28234322146959)×R²
    abs(1.20436667-1.20417492)×5.19280509442832e-05×R²
    0.000191749999999935×5.19280509442832e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.19280509442832e-05×40589641000000     		ar = 118939.480267949m²