Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22688 / 6304
↖ ↑ ↗
← N 73.528399°
E 69.257812°		 ← 346.38 m → N 73.528399°
E 69.268799°		 →
↑
346.39 m
↓
↑
346.39 m
↓
N 73.525284°
E 69.257812°		 ← 346.45 m →
119 995 m²		 N 73.525284°
E 69.268799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692398071289062 y=0.192398071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692398071289062 × 215)
    floor (0.692398071289062 × 32768)
    floor (22688.5)     		tx = 22688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192398071289062 × 215)
    floor (0.192398071289062 × 32768)
    floor (6304.5)     		ty = 6304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22688 / 6304 ti = "15/22688/6304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22688/6304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22688 ÷ 215
    22688 ÷ 32768     		x = 0.6923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6304 ÷ 215
    6304 ÷ 32768     		y = 0.1923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6923828125 × 2 - 1) × π
    0.384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20877686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1923828125 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20877686} λ = 1.20877686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93281579268066))-π/2
    2×atan(6.90893701213633)-π/2
    2×1.42705449578023-π/2
    2.85410899156047-1.57079632675     		φ = 1.28331266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20877686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.257812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28331266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.528399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22688 KachelY 6304 1.20877686 1.28331266 69.257812 73.528399
    Oben rechts KachelX + 1 22689 KachelY 6304 1.20896861 1.28331266 69.268799 73.528399
    Unten links KachelX 22688 KachelY + 1 6305 1.20877686 1.28325829 69.257812 73.525284
    Unten rechts KachelX + 1 22689 KachelY + 1 6305 1.20896861 1.28325829 69.268799 73.525284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28331266-1.28325829) × R
    5.43699999999703e-05 × 6371000     		dl = 346.391269999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28331266-1.28325829) × R
    5.43699999999703e-05 × 6371000     		dr = 346.391269999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20877686-1.20896861) × cos(1.28331266) × R
    0.000191750000000157 × 0.283540061452293 × 6371000     		do = 346.383668017817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20877686-1.20896861) × cos(1.28325829) × R
    0.000191750000000157 × 0.283592199709698 × 6371000     		du = 346.44736215949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28331266)-sin(1.28325829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283540061452293-0.283592199709698)×R²
    abs(1.20896861-1.20877686)×5.21382574049656e-05×R²
    0.000191750000000157×5.21382574049656e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.21382574049656e-05×40589641000000     		ar = 119995.310248714m²