Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22784 / 39168
↖ ↑ ↗
← S 33.137551°
W 54.843750°		 ← 511.45 m → S 33.137551°
W 54.838257°		 →
↑
511.46 m
↓
↑
511.46 m
↓
S 33.142151°
W 54.843750°		 ← 511.42 m →
261 581 m²		 S 33.142151°
W 54.838257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347663879394531 y=0.597663879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347663879394531 × 216)
    floor (0.347663879394531 × 65536)
    floor (22784.5)     		tx = 22784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597663879394531 × 216)
    floor (0.597663879394531 × 65536)
    floor (39168.5)     		ty = 39168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22784 / 39168 ti = "16/22784/39168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22784/39168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22784 ÷ 216
    22784 ÷ 65536     		x = 0.34765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39168 ÷ 216
    39168 ÷ 65536     		y = 0.59765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34765625 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59765625 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95720401} λ = -0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613592315136719))-π/2
    2×atan(0.541402483226244)-π/2
    2×0.496218476227484-π/2
    0.992436952454969-1.57079632675     		φ = -0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22784 KachelY 39168 -0.95720401 -0.57835937 -54.843750 -33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 22785 KachelY 39168 -0.95710814 -0.57835937 -54.838257 -33.137551
    Unten links KachelX 22784 KachelY + 1 39169 -0.95720401 -0.57843965 -54.843750 -33.142151
    Unten rechts KachelX + 1 22785 KachelY + 1 39169 -0.95710814 -0.57843965 -54.838257 -33.142151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57835937--0.57843965) × R
    8.02799999999326e-05 × 6371000     		dl = 511.463879999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57835937--0.57843965) × R
    8.02799999999326e-05 × 6371000     		dr = 511.463879999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95720401--0.95710814) × cos(-0.57835937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 511.449630835457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95720401--0.95710814) × cos(-0.57843965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837316740453667 × 6371000     		du = 511.422824685353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57835937)-sin(-0.57843965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.837316740453667)×R²
    abs(-0.95710814--0.95720401)×4.38878304725998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38878304725998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38878304725998e-05×40589641000000     		ar = 261581.157563421m²