Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22784 / 6400
↖ ↑ ↗
← N 73.226700°
E 70.312500°		 ← 352.55 m → N 73.226700°
E 70.323486°		 →
↑
352.57 m
↓
↑
352.57 m
↓
N 73.223529°
E 70.312500°		 ← 352.61 m →
124 310 m²		 N 73.223529°
E 70.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695327758789062 y=0.195327758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695327758789062 × 215)
    floor (0.695327758789062 × 32768)
    floor (22784.5)     		tx = 22784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195327758789062 × 215)
    floor (0.195327758789062 × 32768)
    floor (6400.5)     		ty = 6400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22784 / 6400 ti = "15/22784/6400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22784/6400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22784 ÷ 215
    22784 ÷ 32768     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6400 ÷ 215
    6400 ÷ 32768     		y = 0.1953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1953125 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91440802322656))-π/2
    2×atan(6.78292227582966)-π/2
    2×1.42442166839607-π/2
    2.84884333679215-1.57079632675     		φ = 1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22784 KachelY 6400 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 22785 KachelY 6400 1.22737638 1.27804701 70.323486 73.226700
    Unten links KachelX 22784 KachelY + 1 6401 1.22718463 1.27799167 70.312500 73.223529
    Unten rechts KachelX + 1 22785 KachelY + 1 6401 1.22737638 1.27799167 70.323486 73.223529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27804701-1.27799167) × R
    5.53400000000703e-05 × 6371000     		dl = 352.571140000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27804701-1.27799167) × R
    5.53400000000703e-05 × 6371000     		dr = 352.571140000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.22737638) × cos(1.27804701) × R
    0.000191749999999935 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 352.547565636104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.22737638) × cos(1.27799167) × R
    0.000191749999999935 × 0.288638642114421 × 6371000     		du = 352.61229427356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27804701)-sin(1.27799167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.288638642114421)×R²
    abs(1.22737638-1.22718463)×5.29850669547804e-05×R²
    0.000191749999999935×5.29850669547804e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.29850669547804e-05×40589641000000     		ar = 124309.507876458m²